Inhaltsverzeichnis

Einleitung 4

1 Knoten 7 1.1 Alexandermoduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Fitting-Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Definition der Alexanderpolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Verschlingungszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Bestimmen des Alexanderpolynoms mit Hilfe von Seifert-Flächen . . . . . . . . 15 1.6 Beispiel: Das Alexanderpolynom eines Torusknotens . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6.1 Die Knotengruppe eines Torusknotens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6.2 Berechnen des Alexanderpolynoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Iwasawatheorie 22 2.1 Ergebnisse aus der Klassenkörpertheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Pro-p-Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3 ℤ_{p}-Erweiterungen von Zahlkörpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 Pro-endliche Ringe und die Iwasawa-Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5 Galoisgruppen als Moduln über der Iwasawa-Algebra . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.6 Endlich erzeugte Λ-Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.6.1 Torsionsmoduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.6.2 Torsionsfreie Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.7 Maximale abelsche unverzweigte p-Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.8 Noch mehr Klassenkörpertheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.9 Maximale abelsche p-verzweigte p-Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.10 Das charakteristische Polynom eines Iwasawa-Moduls . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.11 Die Hauptvermutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.11.1 p-adische Zetafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.11.2 Die Aussage der Hauptvermutung von Iwasawa . . . . . . . . . . . . . . 50

3 Algebraische Fundamentalgruppe 53 3.1 Motivation: Die topologische Fundamentalgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2 Stetige Abbildungen und lokale Homöomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3 Unverzweigte und étale Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.4 Definition der Fundamentalgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.5 Etale Überlagerungen von normalen Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4 Arithmetische Topologie 61 4.1 Wörterbuch, Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5 Berechnungen und Verallgemeinerungen 65

5.1 Fox-Kalkül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.1.1 Geometrisch: G-CW-Komplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.1.2 Algebraisch: Differentialrechnung in Gruppenringen . . . . . . . . . . . . 66 5.1.3 Differentialrechnung in vollständigen Gruppenringen . . . . . . . . . . . 68

5.2 Vollständige Tensorprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.3 Gruppenhomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.3.1 Abstrakte Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.3.2 Pro-p-Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.3.3 Relative Gruppenhomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.4 Jacobi-Matrizen über Gruppenringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.4.1 Die Lyndon-Auflösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.4.2 Anwendung auf das Alexanderpolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.5 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.5.1 Torusknoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.5.2 Palstek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.5.3 Erweiterungen mit vorgegebenen Verzweigungsstellen . . . . . . . . . . . 81

5.6 Alexanderpolynome von Verschlingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.7 Maximale S-verzweigte p-Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.8 Mehrfache ℤ_{p}-Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.9 Homologie-3-Sphären . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.10 Wörterbuch, Teil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Symbolverzeichnis 93

Literatur 94

Symbolverzeichnis 94