5 Berechnungen und Verallgemeinerungen

In diesem Kapitel sollen Methoden zur Beschreibung und Berechnung des Alexanderpolynoms auf den zahlentheoretischen Fall übertragen werden. Als zweiter Punkt werden verschiedene Möglichkeiten diskutiert, das Alexanderpolynom von Verschlingungen mit mehreren Komponenten in der Iwasawatheorie wiederzufinden.

5.1 Fox-Kalkül

Das Alexanderpolynom eines Knotens mit Knotenkomplement C und universeller abelscher Überlagerung p : C_{∞} → C lässt sich mit Hilfe einer Präsentationsmatrix des ℤ[ℤ]-Moduls H_{1}(C_{∞}, C_{∞}^{(0)}) berechnen. R. Fox ([10], [11]) stellt eine Methode vor, mit der man diesen Modul durch Erzeuger und Relationen beschreiben kann, wenn Erzeuger und Relationen der Knotengruppe G bekannt sind.

5.1.1 Geometrisch: G-CW-Komplexe

In Kapitel 9A von [6] wird die anschauliche geometrische Grundlage der Berechnungen dargestellt, die wir hier wiedergeben.

Da die Konstruktionen nur von der Fundamentalgruppe des Knotenkomplements abhängen, können wir wieder annehmen, dass C ein CW-Komplex mit einer 0-Zelle P, einer 1-Zelle für jeden Erzeuger von G und einer 2-Zelle für jede Relation ist. Wir wählen einen Punkt P̃ über P in der Überlagerung C_{∞} und bezeichnen mit D die Decktransformationsgruppe der Überlagerung. Der Raum C_{∞} ist dann ein D-CW-Komplex, der für jede Zelle von C eine äquivariante Zelle besitzt.

Seien s_{1}, …, s_{n} die Erzeuger von π_{1}(C, P), die den 1-Zellen entsprechen. Die freie Gruppe F, die von den Elementen s_{1}, …, s_{n} erzeugt wird, ist dann die Fundamentalgruppe des 1-Gerüsts C^{(1)}, und die Hochhebungen s̃_{1}, …, s̃_{n} am Punkt P̃ repräsentieren die äquivarianten 1-Zellen des D-CW-Komplexes C_{∞}.

Sei w ein geschlossener Weg in C^{(1)}, der einem Element von F entspricht. Die Hochhebung von w am Punkt P̃ kann als Repräsentant eines Zykels aus Z_{1}(C_{∞}, C_{∞}^{(0)}) aufgefasst werden. Diese Zykel haben eine eindeutige Darstellung der Form Σξ_{i}s̃_{i} mit Elementen ξ_{i} ∈ ℤ[D], wodurch für jedes i eine Abbildung

F → ℤ[D]
w ↦ ξ_{i}

definiert wird.

In D verschwinden alle Elemente, die geschlossenen Wegen in C_{∞}^{(1)} entsprechen. Der Kern der gerade definierten Abbildungen enthält damit alle Relatoren r_{j} der Gruppe G, da die Hochhebungen der entsprechenden 2-Zellen in der Überlagerung wieder 2-Zellen sind. Die Abbildungen faktorisieren also über G und können linear fortgesetzt werden zu Abbildungen

\frac{∂}{∂s_{i}} : ℤ[G] → ℤ[D].

Lemma 5.1. Eigenschaften der Abbildungen \frac{∂}{∂s_{i}}:

1) \frac{∂}{∂s_{i}} ist ℤ-linear.

2) \frac{∂}{∂s_{i}} (s_{k}) = δ_{ik}

3) Für zwei Elemente w, w′ ∈ G gilt \frac{∂}{∂s_{i}} (ww′) = \frac{∂}{∂s_{i}} (w) + \overline{w} \frac{∂}{∂s_{i}} (w′), wobei \overline{w} das Bild von w in D bezeichnet.

4) Falls w ein geschlossener Weg in C^{(1)} ist, gilt für seine Hochhebung w̃ am Punkt P̃ die Gleichung

w̃ = Σ\frac{∂}{∂s_{j}} (w) · s̃_{j}.

Beweis. 1, 2, 4) folgen direkt aus der Definition der Abbildungen.

3) Seien w̃ = Σ_{i}ξ_{i}s̃_{i} und w̃′ = Σ_{i}ξ′_{i}s̃_{i} die eindeutigen Darstellungen als Linearkombinationen der s̃_{i}. Dann ist der Endpunkt der Hochhebung w̃ der Punkt w̃ · P̃, und die Hochhebung von w′, die am Punkt w̃ · P̃ beginnt, ist durch \overline{w} · w̃′ gegeben.

Satz 5.2. Sei π_{1}(C) durch die Präsentation ⟨s_{1}, …, s_{n}|r_{1}, …, r_{m}⟩ gegeben. Dann ist die „Jacobi-Matrix“

(\frac{∂r_{j}}{∂s_{i}} ) ∈ M(n × m, ℤ[D])

eine Präsentationsmatrix des ℤ[D]-Moduls H_{1}(C_{∞}, C_{∞}^{(0)}).

Beweis. Als D-CW-Komplex besteht C_{∞} aus einer 0-Zelle, den 1-Zellen s̃_{1}, …, s̃_{n} und den 2-Zellen r̃_{1}, …, r̃_{m}, also hat H_{1}(C_{∞}, C_{∞}^{(0)}) als ℤ[D]-Modul n Erzeuger, die den 1-Zellen entsprechen, und die m Relationen r̃_{1} = ⋯ = r̃_{m} = 0. Die zugehörige Präsentation

ℤ[D]^{m} → ℤ[D]^{n} → H_{1}(C_{∞}, C_{∞}^{(0)}) → 0

besitzt wegen der Formel r̃_{j} = Σ\frac{∂r_{j}}{∂s_{i}} ·s̃_{i} die angegebene Jacobi-Matrix als Präsentationsmatrix.

5.1.2 Algebraisch: Differentialrechnung in Gruppenringen

Unser Ziel ist hier – wie im Folgenden auch noch häufiger – die geometrischen Konstruktionen rein algebraisch zu beschreiben, um Analogien zur Situation in der Zahlentheorie herstellen zu können. Der Fox-Kalkül stellt eine Methode bereit, die oben genannten Abbildungen mit Hilfe von Derivationen und Differentialmoduln über Gruppenringen zu beschreiben ([6], Ch. 9B). Die dafür benötigten Eigenschaften sind hier kurz zusammengefasst.

Definition. Sei G eine (nicht unbedingt kommutative) Gruppe und M ein ℤ[G]-Linksmodul. Eine ℤ-lineare Abbildung Δ : ℤ[G] → M heißt Derivation, falls alle ξ, η ∈ ℤ[G] die Gleichung

Δ(ξ · η) = Δ(ξ) · ε(η) + ξ · Δ(η).

erfüllen. Dabei bezeichnet ε : ℤ[G] → ℤ die Augmentationsabbildung, durch die M auch als ℤ[G]-Rechtsmodul aufgefasst werden kann.

Lemma 5.3. Eigenschaften von Derivationen:

1) Δ(m) = 0 für alle m ∈ ℤ.

2) Δ(g^{−1}) = −g^{−1}Δ(g) für alle g ∈ G.

3) Δ(g^{n}) = (1 + g + ⋯ + g^{n−1})Δ(g) für alle g ∈ G.

4) Δ(g^{−n}) = −(g^{−1} + g^{−2} + ⋯ + g^{−n})Δ(g) für alle g ∈ G.

Beweis. Die Eigenschaften lassen sich mit Hilfe der Definition sofort nachrechnen.

Satz 5.4. Sei F die freie Gruppe auf den Elementen s_{i}, i ∈ I, und M ein ℤ[F]-Modul. Dann gibt es zu jeder Wahl von Elementen m_{i} ∈ M genau eine Derivation Δ : ℤ[F] → M mit Δ(s_{i}) = m_{i} für jedes i.

Beweis. Durch diese Angaben ist Δ auf ℤ[F] festgelegt; da F frei ist, ist die Abbildung auch wohldefiniert.

Definition. Für die freie Gruppe F auf der Menge {s_{i}|i ∈ I} ist die partielle Derivation

\frac{∂}{∂s_{i}} : ℤ[F] → ℤ[F]

definiert als die eindeutig bestimmte Derivation mit \frac{∂}{∂s_{i}} (s_{j}) = δ_{ij} · 1 für alle j ∈ I.

Satz 5.5. Sei F die freie Gruppe auf der Menge {s_{1}, …, s_{n}}. Für jedes Element α ∈ F gilt dann

α − 1 = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂α}{∂s_{i}} (s_{i} − 1).

Beweis. Die linke Seite der Gleichung definiert eine Derivation, denn für α, β ∈ F gilt αβ−1 = (α − 1) · 1 + α(β − 1). Als Linearkombination der partiellen Derivationen \frac{∂}{∂s_{i}} ist auch die rechte Seite eine Derivation. Auf den Erzeugern von F stimmen diese beiden Derivationen offensichtlich überein und sind damit gleich.

Satz 5.6. Sei G eine Gruppe und ℤ[G] der zugehörige Gruppenring über ℤ. Dann existiert ein ℤ[G]-Linksmodul Ω_{G} zusammen mit einer Derivation d : ℤ[G] → Ω_{G}, sodass die folgende universelle Eigenschaft erfüllt ist:

Zu jeder Derivation D : ℤ[G] → M von ℤ[G] in einen ℤ[G]-Linksmodul M existiert genau ein ℤ[G]-Modulhomomorphismus φ : Ω_{G} → M, sodass D = φ ∘ d.

Beweis. Der gesuchte ℤ[G]-Modul wird folgendermaßen konstruiert: Wir bilden zunächst den freien Modul ⨁_{x∈ℤ[G]} ℤ[G] · dx auf den Elementen von ℤ[G]. Sei N der Untermodul, der von den Elementen d(x + y) − dx − dy und d(xy) − dx · ε(x) − xdy für x, y ∈ ℤ[G] erzeugt wird. Der Quotient Ω_{G} = ⨁_{x∈ℤ[G]} ℤ[G] · dx/N zusammen mit der Abbildung

d : ℤ[G] → Ω_{G},
σ ↦ dσ,

hat dann offenbar die gewünschte universelle Eigenschaft.

Bemerkung. Der Modul Ω_{G} wird von den Elementen dσ, σ ∈ G, erzeugt.

Für eine Gruppe G bezeichnen wir mit I_{G} im Folgenden immer das zugehörige Augmentationsideal, also den Kern der Abbildung ε : ℤ[G] → ℤ, Σα_{i}g_{i} ↦ Σα_{i}.

Satz 5.7. Der Differentialmodul Ω_{G} ist kanonisch isomorph zum Augmentationsideal I_{G}. Der ℤ[G]-Isomorphismus φ : Ω_{G} → I_{G} ist für Elemente σ aus G durch die Gleichung φ(dσ) = σ−1 gegeben.

Beweis. Der Homomorphismus φ ist wohldefiniert, denn für zwei Elemente σ, τ aus G gilt φ(d(στ)) = στ − 1 = σ − 1 + σ(τ − 1) = φ(dσ + σdτ). Die Umkehrabbildung I_{G} → Ω_{G}, gegeben durch σ − 1 ↦ dσ, ist ebenfalls wohldefiniert.

Satz 5.8. Für die freie Gruppe F auf der Menge {e_{1}, …, e_{d}} ist der Modul Ω_{F} ein freier ℤ[F]-Modul mit Basis {de_{1}, …, de_{d}}.

Beweis. Für jede Wahl von Elementen a_{1}, …, a_{d} in einem F -Modul M gibt es nach Satz 5.4 genau eine Derivation D : ℤ[F] → M mit D(e_{i}) = a_{i} für i = 1, …, d.

Aus der universellen Eigenschaft des Differentialmoduls Ω_{F} erhalten wir damit sofort die universelle Eigenschaft, die einen freien ℤ[F]-Modul charakterisiert.

Bemerkung. Die Derivation τ : ℤ[F] → ℤ[F], die via der Identifikation Ω_{F} ≅ I_{F} der Inklusion I_{F} ↪ ℤ[F] entspricht, ist für Elemente f ∈ F gegeben durch τ(f) = f − 1. Die Gleichung, die man für Elemente in Ω_{F} aus Satz 5.5 erhält, hat damit für jedes f ∈ F die Form

df = ∑_{i=1}^{d} \frac{∂f}{∂e_{i}} de_{i}.

5.1.3 Differentialrechnung in vollständigen Gruppenringen

Man erhält ähnliche Aussagen wie im letzten Teilabschnitt, wenn man G durch eine Pro-p-Gruppe ersetzt, den Gruppenring durch den vollständigen Gruppenring ℤ_{p}[[G]] und die Kategorie der Moduln über ℤ[G] durch die Kategorie der pro-endlichen Moduln über ℤ_{p}[[G]] ([33], Ch. V §6). Wir betrachten also diejenigen topologischen ℤ_{p}[[G]]-Moduln, deren zugrunde liegende abelsche Gruppe selbst pro-endlich ist.

Definition. Sei M ein pro-endlicher ℤ_{p}[[G]]-Linksmodul. Eine stetige ℤ_{p}-lineare Abbildung Δ : ℤ_{p}[[G]] → M heißt Derivation, falls alle ξ, η ∈ ℤ_{p}[[G]] die Gleichung

Δ(ξ · η) = Δ(ξ) · ε(η) + ξ · Δ(η)

erfüllen. Dabei bezeichnet ε : ℤ_{p}[[G]] → ℤ_{p} wieder die Augmentationsabbildung.

Lemma 5.9. Sei F eine freie Pro-p-Gruppe und M ein pro-endlicher ℤ_{p}[[F]]-Linksmodul. Dann ist M ⋊ F eine pro-endliche topologische Gruppe, und die Derivationen ℤ_{p}[[F]] → M entsprechen genau den ersten Komponenten von stetigen Schnitten der Abbildung M ⋊ F → F, (m, f) ↦ f.

Beweis. Die Verknüpfung (m_{1}, f_{1})(m_{2}, f_{2}) = (m_{1} + f_{1}m_{2}, f_{1}f_{2}) in M ⋊ F ist stetig, wenn man die Produkttopologie zugrunde legt, und als Produkt von pro-endlichen topologischen Räumen ist M ⋊ F auch ein pro-endlicher Raum und damit eine pro-endliche topologische Gruppe. Sie ist eine Pro-p-Gruppe, weil der Index jeder offenen Untergruppe eine p-Potenz ist.

Sei s = d × 1 : F → M ⋊ F ein stetiger Schnitt. Dann gilt s(gh) = s(g) ∘ s(h) = (dg, g) ∘ (dh, h) für alle g, h ∈ F, nach Definition der Verknüpfung auf M ⋊ F ist also s(gh) = (d(gh), gh) = (dg + g · dh, gh). Die Abbildung s = d × 1 ist also genau dann ein Gruppenhomomorphismus, wenn d die Gleichung d(gh) = dg + g dh für alle g, h ∈ F erfüllt, und genau dann stetig, wenn d stetig ist.

Da die Derivationen Δ : ℤ_{p}[[F]] → M genau die Fortsetzungen solcher Abbildungen d auf den Gruppenring sind, folgt daraus die Behauptung.

Satz 5.10. Sei F die freie Pro-p-Gruppe auf den Elementen f_{i}, i ∈ I, und M ein pro-endlicher ℤ_{p}[[F]]-Linksmodul. Dann gibt es zu jeder konvergenten Teilmenge {m_{i}|i ∈ I} von M genau eine Derivation Δ : ℤ_{p}[[F]] → M mit Δ(f_{i}) = m_{i} für jedes i.

Beweis. Wegen der universellen Eigenschaft von F gibt es genau einen stetigen Gruppenhomomorphismus s : F → M ⋊ F mit s(f_{i}) = (m_{i}, f_{i}). Auf der zweiten Komponente ist s offenbar die Identität. Die Zusammensetzung mit der Projektion auf die erste Komponente ergibt nach dem Lemma eine Derivation d : F → M, die durch die Angabe der Bilder der f_{i} eindeutig bestimmt ist.

Definition. Für die freie Pro-p-Gruppe F auf der Menge {s_{i}|i ∈ I} ist die partielle Derivation

\frac{∂}{∂s_{i}} : ℤ_{p}[[F]] → ℤ_{p}[[F]]

definiert als die eindeutig bestimmte Derivation mit \frac{∂}{∂s_{i}} (s_{j}) = δ_{ij} · 1 für alle j ∈ I.

Genau wie in Abschnitt 5.1.2 zeigt man die folgende Aussage:

Satz 5.11. Sei F die freie Pro-p-Gruppe auf der Menge {s_{1}, …, s_{n}}. Für jedes Element α ∈ F gilt dann

α − 1 = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂α}{∂s_{i}} (s_{i} − 1).

Definition. Der freie pro-endliche ℤ_{p}[[G]]-Modul auf der Menge I ist ein ℤ_{p}[[G]]-Modul Z zusammen mit einer Abbildung ι : I → Z, sodass die folgende universelle Eigenschaft erfüllt ist:

Für jeden pro-endlichen Modul M und jede konvergente Teilmenge {m_{i}|i ∈ I} von M gibt es genau einen stetigen ℤ_{p}[[G]]-Modulhomomorphismus φ : Z → M mit φ(ι(i)) = m_{i} für alle i ∈ I.

Der freie pro-endliche ℤ_{p}[[G]]-Modul auf einer Menge I existiert für jede Indexmenge und kann folgendermaßen konstruiert werden: Anstelle einer direkten Summe bildet man das Produkt ∏_{i∈I} ℤ_{p}[[G]] zusammen mit der offensichtlichen Abbildung I → ∏_{i∈I} ℤ_{p}[[G]], i ↦ 1_{i}.

Die universelle Eigenschaft ist dann für jeden pro-endlichen Modul M erfüllt: Sei {m_{i} ∈ M|i ∈ I} eine konvergente Teilmenge von M. Als topologischer Modul ist M isomorph zum projektiven Limes \underleftarrow{lim} M/U, wobei U die offenen Untermoduln durchläuft. Für jeden der endlichen Moduln können wir einen ℤ_{p}[[G]]-Modulhomomorphismus ∏_{i∈I} ℤ_{p}[[G]] → M/U durch 1_{i} ↦ \overline{m}_{i} definieren, da in M/U fast alle Elemente \overline{m}_{i} verschwinden. Die so definierten Abbildungen sind stetig und setzen sich zu einem Homomorphismus ∏_{i∈I} ℤ_{p}[[G]] → M zusammen.

Satz 5.12. Sei G eine Gruppe, ℤ_{p}[[G]] der zugehörige Gruppenring über ℤ_{p}. Dann existiert ein ℤ_{p}[[G]]-Modul Ω_{G} zusammen mit einer Derivation d : ℤ_{p}[[G]] → Ω_{G}, sodass die folgende universelle Eigenschaft erfüllt ist:

Zu jeder Derivation D : ℤ_{p}[[G]] → M von ℤ_{p}[[G]] in einen pro-endlichen G-Modul M existiert genau ein stetiger ℤ_{p}[[G]]-Modulhomomorphismus φ : Ω_{G} → M, sodass D = φ ∘ d.

Beweis. Der Modul Ω_{G} wird konstruiert als Quotient des freien pro-endlichen Moduls Πℤ_{p}[[G]]· dx auf den Elementen x von ℤ_{p}[[G]] nach dem abgeschlossenen Untermodul, der wie im diskreten Fall von den Relationen d(x + y) − dx − dy und d(xy) − dx · ε(y) − xdy erzeugt wird.

Wir bezeichnen mit I_{G} im Folgenden wieder das Augmentationsideal der Gruppe G, hier also den Kern der Abbildung ε : ℤ_{p}[[G]] → ℤ_{p}, Σα_{i}g_{i} ↦ Σα_{i}. Genau wie in Abschnitt 5.1.2 beweist man die folgenden Sätze:

Satz 5.13. Der Differentialmodul Ω_{G} ist kanonisch isomorph zum Augmentationsideal I_{G}. Der ℤ_{p}[[G]]-Isomorphismus φ : Ω_{G} → I_{G} ist für Elemente σ aus G durch die Gleichung φ(dσ) = σ − 1 gegeben.

Satz 5.14. Für die freie Gruppe F auf der Menge {e_{1}, …, e_{d}} ist der Modul Ω_{F} ein freier ℤ_{p}[[F]]-Modul mit Basis {de_{1}, …, de_{d}}.

Die Derivation d : ℤ_{p}[[F]] → Ω_{F} ist auch in diesem Fall auf Elementen f ∈ F durch die folgende Formel gegeben:

df = ∑_{i=1}^{d} \frac{∂f}{∂e_{i}} de_{i}.

Beispiel 5.15. Sei Γ die (multiplikativ geschriebene) freie Pro-p-Gruppe mit einem Erzeuger γ. Jedes Element x ∈ Γ hat dann eine eindeutige Darstellung der Form x = γ^{α} mit α ∈ ℤ_{p}. Die p-adische Zahl α können wir uns als α = α_{0} + α_{1}p + α_{2}p^{2} + … mit α_{i} ∈ {0, …, p − 1} vorstellen. Diese Schreibweise soll ausdrücken, dass α(n) = α_{0} + α_{1}p + ⋯ + α_{n−1}p^{n−1} jeweils das Bild von α unter der Projektion ℤ_{p} → ℤ_{p}/p^{n}ℤ_{p} = ℤ/p^{n}ℤ ist. Es gilt

γ^{α} = lim_{n→∞} γ^{α(n)},

also ergibt sich die partielle Derivation \frac{∂x}{∂γ} als Grenzwert

lim_{n→∞} \frac{∂γ^{α(n)}}{∂γ} .

Mit Hilfe der Rechenregeln für Derivationen erhält man

\frac{∂γ^{α(n)}}{∂γ} = 1 + γ + γ^{2} + ⋯ + γ^{α(n)−1} ∈ ℤ_{p}[[Γ]].

Als Element im Potenzreihenring ℤ_{p}[[T]] ergibt sich mit dem wie in Satz 2.16 durch die Wahl des Erzeugers gegebenen Isomorphismus γ ↦ T + 1 das Polynom

1 + (T + 1) + (T + 1)^{2} + ⋯ + (T + 1)^{α(n)−1} = \frac{(T + 1)^{α(n)} − 1}{(T + 1) − 1} = ∑_{k=1}^{α(n)} \binom{α(n)}{k}T^{k−1}.

Als Grenzwert erhalten wir also das Element

\frac{∂}{∂γ} γ^{α} = lim_{n→∞} \frac{∂γ^{α(n)}}{∂γ} = ∑_{k=1}^{∞} \binom{α}{k}T^{k−1},

wobei die „Binomialkoeffizienten“ wie üblich durch die Gleichung

\binom{α}{k} = \frac{α(α − 1) … (α − k + 1)}{k!}

definiert sind.

5.2 Vollständige Tensorprodukte

Dem Tensorprodukt von Moduln entspricht in der Kategorie der pro-endlichen ℤ_{p}[[G]]-Moduln das so genannte vollständige Tensorprodukt.

Sei M ein pro-endlicher ℤ_{p}[[G]]-Rechtsmodul und N ein pro-endlicher ℤ_{p}[[G]]-Linksmodul. Für ℤ_{p}[[G]] schreiben wir kürzer auch Λ. Mit einer ℤ_{p}[[G]]-bilinearen Abbildung φ : M ×N → A in einen pro-endlichen ℤ_{p}-Modul A ist wie für gewöhnliche Moduln eine Abbildung mit den Eigenschaften

• φ(m + m′, n) = φ(m, n) + φ(m′, n)

• φ(m, n + n′) = φ(m, n) + φ(m, n′)

• φ(m · r, n) = φ(m, r · n)

für alle m, m′ ∈ M, n, n′ ∈ N und r ∈ ℤ_{p}[[G]] gemeint. Das vollständige Tensorprodukt M ˆ⊗_{ℤ_{p}[[G]]}N ist analog zum gewöhnlichen Tensorprodukt durch die folgende universelle Eigenschaft definiert ([33], Ch. V §2):

Definition. Das vollständige Tensorprodukt von M und N ist ein pro-endlicher ℤ_{p}-Modul M ˆ⊗_{ℤ_{p}[[G]]}N zusammen mit einer ℤ_{p}[[G]]-bilinearen stetigen Abbildung

φ : M × N → M ˆ⊗_{ℤ_{p}[[G]]}N,

sodass für jede weitere ℤ_{p}[[G]]-bilineare stetige Abbildung ψ : M × N → A in einen proendlichen ℤ_{p}-Modul A genau ein ℤ_{p}-linearer stetiger Homomorphismus f : M ˆ⊗_{ℤ_{p}[[G]]}N → A existiert mit f ∘ φ = ψ.

Den Modul M ˆ⊗_{ℤ_{p}[[G]]}N kann man konstruieren als

M ˆ⊗_{ℤ_{p}[[G]]}N = \underleftarrow{lim}(M/U ⊗_{ℤ_{p}[[G]]} N/V),

wobei U und V die offenen Untermoduln von M bzw. N durchlaufen. Die Abbildung M ×N → M ˆ⊗_{ℤ_{p}[[G]]}N ergibt sich aus den Abbildungen M × N → M/U ⊗_{ℤ_{p}[[G]]} N/V. Dieser Limes ist als Limes der endlichen Moduln M/U ⊗_{ℤ_{p}[[G]]} N/V tatsächlich pro-endlicher ℤ_{p}-Modul.

M ˆ⊗_{ℤ_{p}[[G]]}N ergibt sich mit anderen Worten als Vervollständigung von M ⊗_{ℤ_{p}[[G]]} N in der Topologie, die als Umgebungsbasis der Null die Mengen ker(M ⊗_{ℤ_{p}[[G]]}N → M/U ⊗_{ℤ_{p}[[G]]}N/V) hat.

Um die abgeleiteten Funktoren Tor_{∗}^{Λ}(_, _) definieren zu können, fassen wir hier kurz einige Eigenschaften pro-endlicher ℤ_{p}[[G]]-Moduln zusammen ([39], Ch. 5.4):

Die Kategorie der pro-endlichen ℤ_{p}[[G]]-Moduln ist eine abelsche Kategorie.^{8} Die projektiven Moduln in dieser Kategorie sind genau die direkten Summanden von freien Moduln, und jeder Modul ist Quotient eines freien Moduls. Insbesondere hat die Kategorie genügend viele projektive Objekte. Die Funktoren _ˆ⊗_{ℤ_{p}[[G]]}N und M ˆ⊗_{ℤ_{p}[[G]]}_sind additiv und rechtsexakt. Man kann also die Linksableitung der Funktoren bilden, die auch für das vollständige Tensorprodukt mit Tor_{∗}^{Λ}(M, N) bezeichnet wird. Wie für das gewöhnliche Tensorprodukt ist das Ergebnis in beiden Fällen dasselbe.

Für eine abgeschlossene Untergruppe H der Gruppe G ist ℤ_{p}[[G]] ein freier pro-endlicher ℤ_{p}[[H]]-Modul. Die projektiven ℤ_{p}[[G]]-Moduln sind wie gewohnt die direkten Summanden von freien Moduln ([39], Cor. 5.7.2 bzw. Prop. 5.4.2).

8Stetige Homomorphismen sind abgeschlossen, Quotienten können also wie gewohnt gebildet werden. Bijektive stetige Abbildungen sind Isomorphismen.

Lemma 5.16. Falls der pro-endliche Rechtsmodul M oder der pro-endliche Linksmodul N endlich erzeugt ist, gilt M ˆ⊗_{ℤ_{p}[[G]]}N = M ⊗_{ℤ_{p}[[G]]} N.

Beweis. Für N = Λ liefert die universelle Eigenschaft sofort die Gleichung M ˆ⊗_{Λ}Λ = M, und da der Funktor _ˆ⊗N genau wie _⊗ N additiv ist, gilt auch Λ^{n} ˆ⊗N = Λ^{n} ⊗ N für alle n ∈ ℕ.

Für den allgemeinen Fall nehmen wir zunächst an, dass M ein Erzeugendensystem aus n Elementen besitzt. Sei φ : Λ^{n} → M der zugehörige Epimorphismus von pro-endlichen Rechtsmoduln. Der Homomorphismus φ induziert einen Epimorphismus Λ^{n} ⊗ N → M ⊗_{Λ} N, der stetig ist, falls man M ⊗_{Λ} N als Teilraum von M ˆ⊗_{Λ}N auffasst. Das Bild ist also kompakt und damit abgeschlossen in M ˆ⊗_{Λ}N, und da M ⊗_{Λ} N eine dichte Teilmenge ist, gilt M ⊗_{Λ} N = M ˆ⊗_{Λ}N.

Dasselbe Argument lässt sich selbstverständlich auch auf ein endliches Erzeugendensystem des Linksmoduls N anwenden.

Falls wir uns also auf endlich erzeugte Moduln einschränken, hat das gewöhnliche Tensorprodukt die universelle Eigenschaft auch in der Kategorie der pro-endlichen Λ-Moduln.

Wählt man für G die triviale Gruppe {1}, so ist M ˆ⊗_{ℤ_{p}[[G]]}N = M ˆ⊗_{ℤ_{p}}N das vollständige Tensorprodukt über ℤ_{p}, für das wir im Folgenden einfach M ˆ⊗N schreiben.

5.3 Gruppenhomologie

Anstatt die Objekte H_{1}(C_{∞}) und H_{1}(C) mit Hilfe von singulärer Homologie zu untersuchen, kann man die Homologiegruppen und zugehörige Abbildungen und Operationen auch als Objekte in der Gruppenhomologie, ausgehend von der Knotengruppe, auffassen. Analog erhält man die Iwasawa-Moduln als Homologiegruppen der entsprechenden Galoisgruppe. Diese Beschreibung erlaubt also eine einheitliche Behandlung der Situationen in der Knotentheorie und der Zahlentheorie. Wir stellen hier zunächst einige Eigenschaften der Gruppenhomologie von abstrakten Gruppen und Pro-p-Gruppen zusammen. Für abstrakte Gruppen findet man die Ergebnisse zum Beispiel in [5], für pro-endliche Gruppen in [33] oder [47].

5.3.1 Abstrakte Gruppen

Sei G eine Gruppe und M ein ℤ[G]-Modul. Die i-te Homologiegruppe von G mit Koeffizienten in M ist die Gruppe

H_{i}(G, M) = Tor_{i}^{ℤ[G]}(ℤ, M).

Die Gruppenhomologie einer Gruppe G bekommt man also als Linksableitung des Funktors ℤ ⊗_{ℤ[G]} _. Für die Homologiegruppen mit Koeffizienten in ℤ schreiben wir auch H_{i}(G).

Lemma 5.17. H_{1}(G, ℤ) ≅ G^{ab}.

Beweis. Die exakte Sequenz 0 → I_{G} → ℤ[G] → ℤ → 0, die sich aus der Augmentationsabbildung ergibt, liefert eine lange exakte Sequenz

⋯ → Tor_{1}^{ℤ[G]}(ℤ, ℤ[G]) → Tor_{1}^{ℤ[G]}(ℤ, ℤ) → Tor_{0}^{ℤ[G]}(ℤ, I_{G}) → Tor_{0}^{ℤ[G]}(ℤ, ℤ[G]) → …,

wobei Tor_{1}^{ℤ[G]}(ℤ, ℤ[G]) = 0 und Tor_{0}^{ℤ[G]}(ℤ, ℤ[G]) = ℤ⊗_{G}ℤ[G] ≅ ℤ, sodass die letzte Abbildung die Nullabbildung ist. Wir haben also einen Isomorphismus Tor_{1}^{ℤ[G]}(ℤ, ℤ) ≅ Tor_{0}^{ℤ[G]}(ℤ, I_{G}) = I_{G} ⊗_{G} ℤ.

Der Modul I_{G} ⊗_{G} ℤ ist kanonisch isomorph zum trivialen G-Modul G^{ab}, indem man das Element (g − 1) ⊗ 1 für g ∈ G auf die Restklasse \overline{g} in G^{ab} abbildet. Diese Definition liefert einen wohldefinierten bijektiven Homomorphismus.

Lemma 5.18. Sei N ⊂ G ein Normalteiler. Dann induziert die Konjugation mit Elementen aus G eine Operation von G/N auf H_{∗}(N).

Beweis. Sei α_{g} : N → N der Isomorphismus n ↦ gng^{−1}. Eine projektive Auflösung von ℤ als N-Modul kann durch die Abbildung α_{g} mit anderen N-Modulstrukturen der Komponenten versehen werden und liefert so eine weitere projektive Auflösung von ℤ als N-Modul. Die neue N-Modulstruktur auf den Komponenten ist dann für ein Element n aus dem Normalteiler und x aus dem Modul durch die Vorschrift n ∘ x = (gng^{−1})x gegeben.

Die Identität ℤ → ℤ besitzt eine bis auf Homotopie eindeutige Fortsetzung zu einer Abbildung dieser beiden Sequenzen. Diese Abbildung liefert eine Abbildung zwischen den Komplexen, die man nach Tensorieren mit ℤ über ℤ[N] erhält. Also erhält man Abbildungen

(α_{g})_{∗} : H_{∗}(N) → H_{∗}(N),

die eine Operation von G auf H_{∗}(N) induzieren.

Falls das Element g im Normalteiler enthalten ist, kann man als Fortsetzung der Identität auf ℤ die Abbildung τ wählen, die auf jedem der Moduln durch x ↦ gx definiert ist. Wegen g(nx) = gng^{−1}(gx) = n ∘ (gx) ist diese Abbildung verträglich mit den N-Modulstrukturen. Auf den Komplexen, die man nach dem Tensorieren mit ℤ erhält, induziert τ aber offenbar die Identität. Damit operiert N trivial auf H_{∗}(N) und induziert eine Operation von G/N auf H_{∗}(N).

Lemma 5.19. Identifiziert man H_{1}(G′) mit (G′)^{ab} wie in Lemma 5.17, so entspricht die oben definierte Operation von G/G′ auf H_{1}(G′) der Operation von G/G′ auf (G′)^{ab} durch Konjugation.

Beweis. Die Operation von G/G′ auf H_{1}(G′) erhält man für ein Element g ∈ G, indem man die Gruppe G′, wie im Beweis von Lemma 5.18 beschrieben, durch gG′g^{−1} ersetzt und die Modulstrukturen der beteiligten Moduln entsprechend ändert. Die Konjugation mit g lässt sich auf ℤ[G′] fortsetzen, also auch zu einem Automorphismus der kurzen exakten Sequenz 0 → I_{G′} → ℤ[G′] → ℤ → 0, wobei die Abbildung ℤ → ℤ auf den Quotienten die Identität ist. Dadurch erhält man eine Abbildung zwischen den langen exakten Sequenzen, und die Abbildung auf I_{G′} ⊗_{ℤ[G′]}ℤ = Tor_{0}(I_{G′}, ℤ) ≅ H_{1}(G′) ist durch Konjugation mit g gegeben. Die Operation entspricht also der Operation von G/G′ auf (G′)^{ab} durch Konjugation.

Lemma 5.20 (Shapiro). Falls H eine Untergruppe von G ist und M ein H-Linksmodul, gibt es natürliche Isomorphismen

H_{∗}(H, M) ≅ H_{∗}(G, ℤ[G] ⊗_{H} M).

Beweis. Die Funktoren H_{∗}(H, _) und H_{∗}(G, ℤ[G] ⊗_{H} _) sind universelle homologische δ-Funktoren von H-Mod in die Kategorie der abelschen Gruppen, da ℤ[G] ⊗_{H} _freie Objekte auf freie abbildet und H_{∗}(G, ℤ[G]⊗_{H} _) damit coeffaçabel ist.^{9} Es genügt also, die Isomorphie für n = 0 nachzuweisen. In diesem Fall gilt

H_{0}(G, ℤ[G] ⊗_{H} M) = ℤ ⊗_{ℤ[G]} ℤ[G] ⊗_{ℤ[H]} M = ℤ ⊗_{ℤ[H]} M = H_{0}(H, M).

9Einen Überblick über abgeleitete Funktoren und δ-Funktoren gibt es zum Beispiel in [14], [33] oder [39].

Korollar 5.21. Für einen Normalteiler H der Gruppe G gilt H_{∗}(H) ≅ H_{∗}(G, ℤ[G/H]) als ℤ[G/H]-Modul.

Beweis. Die Aussage folgt wegen ℤ[G/H] ≅ ℤ[G] ⊗_{H} ℤ aus dem Lemma von Shapiro. Nach Lemma 5.18 ist H_{i}(H) ein G/H-Modul, und die Modulstrukturen stimmen auf den nullten Homologiegruppen überein.

Lemma 5.22. Sei H ein Normalteiler in G. Dann gilt für jeden ℤ[H]-Rechtsmodul M

M ⊗_{ℤ[G]} ℤ[G/H] = M ⊗_{ℤ[H]} ℤ = M/MI_{H}.

Beweis. Die erste Gleichung ist klar nach dem letzten Korollar, und der Kern der Abbildung M → M ⊗_{ℤ[H]} ℤ ist genau durch den Modul MI_{H} gegeben.

Bemerkung. Statt die Homologiegruppen als Ableitung des Funktors ℤ ⊗_{ℤ[G]} _zu definieren, formuliert man die Definition häufig mit Hilfe des Funktors, der einem H-Modul M die Gruppe der Co-Invarianten M_{H} zuordnet. Bis auf Vertauschen von Rechts- und Linksmoduln findet man die Aussage des Lemmas also in der Äquivalenz dieser beiden Definitionen wieder.

5.3.2 Pro-p-Gruppen

In Analogie zur Gruppenhomologie von abstrakten Gruppen definieren wir die i-te Homologiegruppe der Pro-p-Gruppe G mit Koeffizienten in einem pro-endlichen topologischen ℤ_{p}[[G]]- Modul M als

H_{i}(G, M) = Tor_{i}^{ℤ_{p}[[G]]}(ℤ_{p}, M)

([39], §6.3).

Die Aussagen aus Abschnitt 5.3.1 lassen sich auf diesen Fall übertragen:

• H_{1}(G, ℤ_{p}) ≅ Tor_{1}^{ℤ_{p}[[G]]}(ℤ_{p}, ℤ_{p}) ≅ I_{G} ˆ⊗_{ℤ_{p}[[G]]}ℤ_{p} ≅ G^{ab}.

• Für einen abgeschlossenen Normalteiler N ⊂ G induziert die Konjugation mit Elementen aus G eine Operation von G/N auf H_{∗}(N, ℤ_{p}). Dabei beweist man wie in Abschnitt 5.3.1:

Lemma 5.23. Sei G′ ⊂ G der Abschluss der Kommutatoruntergruppe von G. Identifiziert man H_{1}(G′, ℤ_{p}) mit (G′)^{ab}, so entspricht die Operation von G/G′ auf H_{1}(G′, ℤ_{p}) der Operation von G/G′ auf (G′)^{ab} durch Konjugation.

Lemma 5.24 (Shapiro). Für einen abgeschlossenen Normalteiler H der Gruppe G gilt

H_{∗}(H, ℤ_{p}) ≅ H_{∗}(G, ℤ_{p}[[G/H]]).

Die Operation von G/H auf H_{∗}(H, ℤ_{p}) stimmt mit dieser Identifizierung mit der Operation von G/H überein, die man auf H_{∗}(G, ℤ_{p}[[G/H]]) erhält, die Bijektion ist also ein ℤ_{p}[[G/H]]- Modulisomorphismus.

5.3.3 Relative Gruppenhomologie

Aus der anschaulichen Beschreibung des Fox-Kalküls geht hervor, dass es sich dabei geometrisch um die Berechnung einer relativen Homologiegruppe handelt. Um das Verfahren in möglichst ähnlicher Form mittels Gruppenhomologie beschreiben zu können, führen wir relative Gruppenhomologie ein.

Für eine Gruppe G und eine Untergruppe H kann man relative Homologiegruppen H_{i}(G, H) mit Hilfe von Eilenberg-MacLane-Räumen definieren, also indem man auf topologische Homologietheorien für Paare von Räumen zurückgreift. Das Ziel ist es aber auch hier wieder, diese relativen Homologiegruppen rein algebraisch zu definieren. Dafür beschreiben wir den einfachsten Fall der Konstruktion von H. F. Trotter ([44]), der allgemeiner Homologie für Systeme von Gruppen (G, G_{i}, φ_{i} : G_{i} → G) einführt.

Definition. Sei G eine Gruppe und H eine Untergruppe. Eine projektive Auflösung von ℤ über dem System (G, H) ist ein Paar von Komplexen (X., Y.), für die gilt:

• X. ist eine projektive Auflösung von ℤ über ℤ[G],

• Y. ist von der Form Y. = ℤ[G] ⊗_{H} \overline{Y} . mit einer projektiven Auflösung \overline{Y} . → ℤ → 0 von ℤ als ℤ[H]-Modul,

• Y. ist ein direkter Summand von X.

Den ℤ[G]-Modulhomomorphismus Y_{0} → ℤ erhält man aus Y_{0} → ℤ[G] ⊗_{H} ℤ durch Zusammensetzen mit der Abbildung (ε, id) : ℤ[G] ⊗_{H} ℤ → ℤ.

Ein Morphismus zwischen zwei solchen projektiven Auflösungen (X., Y.) und (X.′, Y.′) ist ein Paar (f., g.) von Morphismen von Komplexen, sodass die folgenden Diagramme kommutieren

[figure: X.; f.; ℤ; \overline{Y} .; g.; ℤ; X′.; ℤ; \overline{Y′}.; ℤ]

und die Einschränkung von f. auf den direkten Summanden Y. die Abbildung id ⊗ g. ist. Ähnlich definiert man Homotopien zwischen projektiven Auflösungen.

Lemma 5.25. Für jede Wahl von G und H existieren projektive Auflösungen von ℤ über (G, H). Falls zwei solche projektive Auflösungen (X., Y.) und (X.′, Y.′) gegeben sind, gibt es einen bis auf Homotopie eindeutigen Morphismus (X., Y.) → (X.′, Y.′).

Beweis. Zunächst wählt man eine projektive Auflösung \overline{Y} . von ℤ über ℤ[H], die durch Tensorieren mit ℤ[G] und Zusammensetzen mit ℤ[G] ⊗_{H} ℤ → ℤ einen Komplex Y. = \overline{Y} . ⊗ ℤ[G] → ℤ → 0 liefert. Dieser Komplex lässt sich schrittweise durch Hinzufügen von direkten Summanden zu den Komponenten Y_{i} zu einer exakten Sequenz X. → ℤ → 0 von ℤ[G]-Moduln ergänzen.

Genauso verfährt man auch mit den Morphismen von solchen Auflösungen und mit Homotopien: Zunächst konstruiert man wie gewohnt einen Morphismus \overline{Y} . → \overline{Y} .′, der einen Morphismus Y. → Y.′ induziert. Diesen kann man dann auf den Komplex X. fortsetzen, da die direkten Summanden, auf denen die Abbildung noch definiert werden muss, jeweils projektive Moduln sind. Dasselbe Verfahren funktioniert auch für Homotopien.

Insbesondere sind jeweils zwei projektive Auflösungen homotop, und eine Homotopie zwischen (X., Y.) und (X.′, Y.′) induziert eine Homotopie zwischen den Quotienten X./Y. und X.′/Y.′. Die Homologie von X./Y. hängt damit nicht von der Wahl der projektiven Auflösung ab.

Definition. Die relative Homologie H_{∗}(G, H; A) ist definiert als die Homologie des Komplexes (X./Y.) ⊗ A für eine projektive Auflösung (X., Y.) von ℤ über (G, H).

Falls G eine Pro-p-Gruppe ist und H eine abgeschlossene Untergruppe von G, definiert man projektive Auflösungen über (G, H), indem man ℤ durch ℤ_{p} ersetzt, das Tensorprodukt durch das vollständige Tensorprodukt und alle Gruppenringe durch die korrespondierenden vollständigen Gruppenringe. Die relativen Homologiegruppen sind dann die Homologiegruppen des Komplexes (X./Y.) ˆ⊗A für eine projektive Auflösung (X., Y.) von ℤ_{p} über (G, H).

Sei G eine Gruppe, H eine Untergruppe und (X., Y.) eine projektive Auflösung von ℤ über (G, H). Da die exakten Sequenzen

0 → Y_{n} → X_{n} → X_{n}/Y_{n} → 0

spalten, erhält man eine exakte Sequenz

0 → Y. ⊗ A → X. ⊗ A → X./Y. ⊗ A → 0

und damit, wie man es von der relativen Homologie erwartet, eine lange exakte Sequenz der Homologiegruppen

[figure: …; H_{n}(Y. ⊗ A); H_{n}(X. ⊗ A); H_{n}(X./Y. ⊗ A); ∂; H_{n−1}(Y. ⊗ A); …; …; H_{n}(H; A); H_{n}(G; A); H_{n}(G, H; A); ∂; H_{n−1}(H; A); …]

Für Pro-p-Gruppen erhält man dieselbe Aussage, wenn man das Tensorprodukt durch das vollständige Tensorprodukt ersetzt.

5.4 Jacobi-Matrizen über Gruppenringen

Mit diesen Hilfsmitteln kann man ohne die anschauliche Beschreibung durch CW-Komplexe eine Präsentationsmatrix der Homologiegruppen bestimmen. Die dafür verwendete freie Auflösung von ℤ wurde zuerst von R. C. Lyndon ([26]) beschrieben. Eine Herleitung der Lyndon-Auflösung im pro-endlichen Fall ohne die explizite Beschreibung durch eine Jacobi-Matrix findet man in [33], Ch. V, §6.

5.4.1 Die Lyndon-Auflösung

Sei F die freie Gruppe auf der Menge {e_{1}, …, e_{d}}, R ⊂ F ein Normalteiler, der (als Normalteiler) von den Elementen r_{j}, j ∈ J, erzeugt wird, und G der Quotient F/R. Die Gruppe G ist also durch die Präsentation G = ⟨e_{i}|r_{j}⟩ gegeben.

Lemma 5.26. Sei X_{1} der freie ℤ[G]-Rechtsmodul auf der Menge {a_{1}, …, a_{d}}, sodass die Elemente a_{i} den Erzeugern e_{i} von F entsprechen, und X_{2} der freie ℤ[G]-Rechtsmodul auf der Menge {b_{j}}, wobei die Elemente b_{j} den Relatoren r_{i} entsprechen.

Dann gibt es eine exakte Sequenz

X_{2} ⟶^{d_{2}} X_{1} → ℤ[G] → ℤ → 0,

in der die Abbildung d_{2} durch die Jacobi-Matrix (\frac{∂r_{j}}{∂e_{i}}) gegeben ist. Mit \frac{∂r_{j}}{∂e_{i}} ist in diesem Fall das Bild des entsprechenden Elements aus ℤ[F] in ℤ[G] gemeint.

Die Sequenz kann damit als Teil einer freien Auflösung von ℤ als ℤ[G]-Modul aufgefasst werden.

Beweis. Die exakte Sequenz

0 → I_{F} → ℤ[F] → ℤ → 0

liefert durch Tensorieren mit dem ℤ[F]-Modul ℤ[G] eine exakte Sequenz

[figure: 0; K; I_{F} ⊗_{ℤ[F]} ℤ[G]; ℤ[F] ⊗_{ℤ[F]} ℤ[G]; ℤ ⊗_{ℤ[F]} ℤ[G]; 0; 0; K; I_{F} /I_{F} I_{R}; ℤ[F]/ℤ[F]I_{R}; ℤ; 0,]

wobei die Untergruppe K ⊂ I_{F} /I_{F} I_{R} so gewählt ist, dass die Sequenz exakt wird. Die vertikalen Gleichungen erhält man aus Lemma 5.22. Der Kern K ist einerseits durch den Modul ℤ[F]I_{R}/I_{F} I_{R} gegeben, andererseits erhalten wir durch die lange exakte Sequenz für Tor_{∗}^{ℤ[F]}(_, ℤ[G]) die folgende Fortsetzung der Sequenz:

0 = Tor_{1}^{ℤ[F]}(ℤ[F], ℤ[G]) → Tor_{1}^{ℤ[F]}(ℤ, ℤ[G]) → I_{F} ⊗_{ℤ[F]} ℤ[G] → ℤ[F] ⊗_{ℤ[F]} ℤ[G] → ℤ → 0

Der Kern K ist also andererseits gegeben durch den Modul

Tor_{1}^{ℤ[F]}(ℤ, ℤ[G]) ≅ Tor_{1}^{ℤ[R]}(ℤ, ℤ) ≅ R^{ab}.

Wir bestimmen nun den G-Modulhomomorphismus R^{ab} → I_{F} ⊗_{ℤ[F]} ℤ[G], der der Abbildung ℤ[F]I_{R}/I_{F} I_{R} → I_{F} /I_{F} I_{R} entspricht. Da I_{F} ein freier ℤ[F]-Modul ist und isomorph zu Ω_{F}, erhalten wir einen Isomorphismus

I_{F} ⊗_{ℤ[F]} ℤ[G] ≅ Ω_{F} ⊗_{ℤ[F]} ℤ[G] ≅ ℤ[G]^{d} = X_{1},

der auf dem Modul Ω_{F} ⊗_{ℤ[F]} ℤ[G] durch de_{i} ⊗ 1 ↦ a_{i} gegeben ist.

Die kanonische Abbildung I_{R} → ℤ[F]I_{R}/I_{F} I_{R} ist surjektiv, und da ihr Kern durch I_{R}^{2} gegeben ist, induziert sie einen Isomorphismus R^{ab} ≅ I_{R}/I_{R}^{2} ≅ ℤ[F]I_{R}/I_{F} I_{R}.

Ersetzen wir I_{F} durch den kanonisch isomorphen Modul Ω_{F}, so erhalten wir ein kommutatives Diagramm

\xymatrix{R \ar[d] \ar[r] & F \ar[r]^{d} & Ω_{F} \ar[r] & Ω_{F} /I_{F} I_{R} \ar[d]^{≅} \\ I_{R}/I_{R}^{2} \ar[rrr]^{φ} &  &  & ℤ[G]^{d} \ar[r] & ℤ[G] \ar[r] & ℤ \ar[r] & 0}

sodass die Abbildung φ über die Derivation F → Ω_{F} faktorisiert.

Der G-Modul R^{ab} kann als Quotient des freien ℤ[G]-Moduls X_{2} geschrieben werden, indem wir das Basiselement b_{j} ∈ X_{2} auf \overline{r}_{j} ∈ R^{ab} abbilden. Zusammensetzen dieser Abbildung X_{2} → R^{ab} mit der Abbildung φ : R^{ab} → ℤ[G]^{d} liefert die gesuchte Sequenz

X_{2} ⟶^{d_{2}} X_{1} → ℤ[G] → ℤ → 0.

Wir müssen nun noch verifizieren, dass die Abbildung d_{2} durch die oben angegebene Matrix gegeben ist. Mit Hilfe des kommutativen Diagramms lassen sich die Bilder der Basiselemente von X_{2} unter der Abbildung d_{2} beschreiben:

Das Element r_{j} ∈ R, das dem Erzeuger b_{j} entspricht, wird zunächst auf dr_{j} ∈ Ω_{F} abgebildet und hat dort nach der Formel aus Abschnitt 5.1.2 die Darstellung Σ_{i} \frac{∂r_{j}}{∂e_{i}} de_{i}. Nach Übergang zum Quotienten ℤ[G]^{d} erhalten wir als Bild also das Element Σ_{i} \frac{∂r_{j}}{∂e_{i}} a_{i}.

In Anlehnung an [7] kann das Resultat mit Hilfe von relativen Homologiegruppen folgendermaßen formuliert werden:

Satz 5.27. Sei G = ⟨e_{i}|r_{j}⟩ wie oben und H ⊂ G ein Normalteiler. Dann ist die Matrix (\overline{\frac{∂r_{j}}{∂e_{i}}}) eine Präsentationsmatrix über ℤ[G/H] für die relative Homologiegruppe H_{1}(G, 1; ℤ[G/H]).

Beweis. Wir haben oben einen Teil einer projektiven Auflösung

X_{2} → X_{1} → ℤ[G] → ℤ → 0

für den ℤ[G]-Modul ℤ konstruiert. Für den ℤ[1]-Modul ℤ wählen wir einfach die Auflösung

0 → ℤ → ℤ → 0.

Die relative Gruppenhomologie von (G, 1) mit Koeffizienten in ℤ[G/H] ergibt sich durch Tensorieren der beiden Komplexe mit ℤ[G/H] und Berechnen der Homologie des Quotienten. Aus dem ersten Komplex bekommen wir

X_{2} ⊗_{G} ℤ[G/H] ⟶^{d_{2}} X_{1} ⊗_{G} ℤ[G/H] → ℤ[G/H] → 0,

wobei die erste Abbildung durch Reduktion der Jacobi-Matrix mod H, also durch die Matrix (\overline{\frac{∂r_{j}}{∂e_{i}}}) ∈ ℤ[G/H], gegeben ist. Als zweiten Komplex bekommen wir

0 → ℤ[G/H] → 0.

Bilden des Quotienten liefert den Komplex

X_{2} ⊗_{G} ℤ[G/H] ⟶^{d_{2}} X_{1} ⊗_{G} ℤ[G/H] → 0 → 0,

und die erste Homologiegruppe ist durch den Quotienten X_{1} ⊗_{G} ℤ[G/H]/ im(d_{2}) gegeben. Wir haben also eine exakte Sequenz

X_{2} ⊗_{G} ℤ[G/H] ⟶^{d_{2}} X_{1} ⊗_{G} ℤ[G/H] → H_{1}(G, 1; ℤ[G/H]) → 0

konstruiert, mit anderen Worten eine Präsentation des ℤ[G/H]-Moduls H_{1}(G, 1; ℤ[G/H]) mit Präsentationsmatrix (\overline{\frac{∂r_{j}}{∂e_{i}}}).

Im pro-endlichen Fall lassen sich die in diesem Abschnitt aufgeführten Sätze mit Hilfe der Ergebnisse, die wir über Differentialmoduln und Gruppenhomologie in diesem Fall zusammengestellt haben, genauso beweisen. In [34], §4.1 wird eine andere Formulierung verwendet, das Ergebnis ist aber im Wesentlichen dasselbe:

Satz 5.28. Sei ⟨e_{1}, …, e_{n}|r_{1}, …, r_{m}⟩ eine Präsentation der Pro-p-Gruppe G und H ein abgeschlossener Normalteiler von G. Dann ist die Matrix (\overline{\frac{∂r_{j}}{∂e_{i}}}) eine Präsentationsmatrix über ℤ_{p}[[G/H]] für die relative Homologiegruppe H_{1}(G, 1; ℤ_{p}[[G/H]]).

5.4.2 Anwendung auf das Alexanderpolynom

Der Alexandermodul eines Knotens wurde in Abschnitt 1.1 als erste Homologiegruppe der maximalen abelschen Überlagerung seines Knotenkomplements definiert. Aus der Knotengruppe G erhält man diese Gruppe als maximalen abelschen Quotienten der Kommutatorgruppe G′. Mit Hilfe von Gruppenhomologie findet man eine weitere Beschreibung:

Satz 5.29. Der Alexandermodul ist als ℤ[G^{ab}]-Modul isomorph zu H_{1}(G, ℤ[G^{ab}]).

Beweis. Nach dem Lemma von Shapiro ist H_{1}(G, ℤ[G^{ab}]) als ℤ[G^{ab}]-Modul isomorph zu H_{1}(G′, ℤ). Diese Homologiegruppe ist nach den Ergebnissen aus Abschnitt 5.3.1 isomorph zum ℤ[G^{ab}]-Modul (G′)^{ab} und damit der Alexandermodul.

Die Beziehung zwischen dem Alexandermodul und der relativen Homologiegruppe aus dem letzten Abschnitt wird durch die folgende Beobachtung hergestellt:

Sei G eine abstrakte Gruppe oder eine Pro-p-Gruppe. Sei D ein (Pro-p-)Quotient von G und A der zugehörige (vollständige) Gruppenring. Aus der langen exakten Sequenz des Paares (G, 1) mit Koeffizienten in A erhält man wegen H_{1}(1, A) = 0 den Teil

0 → H_{1}(G; A) → H_{1}(G, 1; A) → I_{D} → 0,

wobei I_{D} das Augmentationsideal des Gruppenrings A bezeichnet. Falls der Gruppenring ein noetherscher faktorieller Ring ist, ist sein Augmentationsideal ein torsionsfreier Modul, und wenn r ∈ ℕ_{0} sein Rang ist, bekommen wir aus dieser Sequenz und Satz 1.5 die Gleichung Δ_{0}(H_{1}(G; A)) = Δ_{r}(H_{1}(G, 1; A)). Insbesondere gilt:

Korollar 5.30. Für einen Knoten mit Knotengruppe G ist Δ(t) = Δ_{1}(H_{1}(G, 1; ℤ[t, t^{−1}])).

5.5 Beispiele

Mit Hilfe der Präsentationsmatrix aus dem letzten Abschnitt werden wir für einige Beispiele aus der Knotentheorie und der Zahlentheorie die Invarianten Δ_{i} bestimmen.

Wie nützlich die Methode ist, kann man erkennen, wenn man damit noch einmal das Alexanderpolynom eines Torusknoten berechnet. Als praxisnahe Anwendung bestimmen wir das Alexanderpolynom eines Palsteks, und als Beispiel aus der Zahlentheorie untersuchen wir Galoisgruppen von p-Erweiterungen mit vorgegebener Präsentation durch Erzeuger und Relationen.

5.5.1 Torusknoten

Die Knotengruppe eines Torusknotens mit Parametern a und b hat nach Abschnitt 1.6.1 die Präsentation G = ⟨x, y|x^{a}y^{−b}⟩, wobei die Projektion G → G/G′ ≅ ⟨t⟩ die Erzeuger x und y auf t^{b} bzw. t^{a} abbildet. Berechnen der partiellen Derivationen liefert die Jacobi-Matrix

(\frac{∂(x^{a}y^{−b})}{∂x} ; \frac{∂(x^{a}y^{−b})}{∂y}) = (\begin{matrix}1 + x + ⋯ + x^{a−1} \\ x^{a}(−y^{−1} − ⋯ − y^{−b}) \end{matrix}) .

Die Präsentationsmatrix A der relativen Homologiegruppe H_{1}(G, 1; ℤ[⟨t⟩]) über ℤ[⟨t⟩] erhält man durch Einsetzen von t^{a} für x und t^{b} für y:

A = ( \frac{1 − t^{ab}}{1 − t^{b}} ; \frac{−t^{ab}t^{−a}(1 − t^{−ab})}{1 − t^{−a}} ) .

Nach Korollar 5.30 ist das Alexanderpolynom Δ(t) der größte gemeinsame Teiler der Einträge von A, also das Element Δ_{1}(H_{1}(G, 1; ℤ[⟨t⟩]). Wir erhalten die schon aus Abschnitt 1.6.2 bekannte Aussage:

Satz 5.31. Das Alexanderpolynom eines Torusknotens mit Parametern a und b ist das Polynom

Δ(t) = \frac{(1 − t)(1 − t^{ab})}{(1 − t^{a})(1 − t^{b})}.

5.5.2 Palstek

Als zweites Beispiel berechnen wir das Alexanderpolynom für den im ersten Kapitel schon erwähnten Knoten mit der Nummer 6_{2}.

Abbildung 12: Palstek

Eine Wirtinger-Präsentation der Knotengruppe ist gegeben durch

G = ⟨x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}|x_{3}x_{6}x_{3}^{−1}x_{1}^{−1}, x_{2}^{−1}x_{4}^{−1}x_{1}x_{4}, x_{6}x_{2}x_{6}^{−1}x_{3}^{−1}, x_{5}x_{3}x_{5}^{−1}x_{4}^{−1}, x_{5}^{−1}x_{1}^{−1}x_{4}x_{1}⟩.

Man sieht sofort, dass als Quotientenabbildung G → G^{ab} = ⟨t⟩ die Abbildung gewählt werden kann, die jeden der sechs Erzeuger auf t abbildet. Die zugehörige Präsentationsmatrix von H_{1}(G, 1; ℤ[t, t^{−1}]) über ℤ[t, t^{−1}] ist die Matrix

(\begin{matrix}−1 & t^{−2} & 0 & 0 & −t^{−2} + t^{−1} \\ 0 & −t^{−1} & t & 0 & 0 \\ 1 − t & 0 & −1 & t & 0 \\ 0 & −t^{−2} + t^{−1} & 0 & −1 & t^{−2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 − t & −t^{−1} \\ t & 0 & 1 − t & 0 & 0 \end{matrix}) .

Als Determinante der 5x5-Teilmatrizen erhält man bis auf Multiplikation mit ±t^{k} jeweils 1 − t^{−1} − 3t + 3t^{2} − t^{3}. Dieses Element erzeugt also das erste Fitting-Ideal der Matrix, und damit gilt:

Satz 5.32. Das Alexanderpolynom eines Palsteks ist das Polynom

Δ(t) = t^{4} − 3t^{3} + 3t^{2} − 3t + 1.

5.5.3 Erweiterungen mit vorgegebenen Verzweigungsstellen

In seinem Buch [21] gibt H. Koch mehrere Beispiele von Galoisgruppen an, für die er eine Präsentation als Pro-p-Gruppe durch Erzeuger und Relationen bestimmen konnte ([22]). Für zwei dieser Beispiele berechnen wir hier die zugehörigen charakteristischen Polynome.

1) Sei K = ℚ, p eine ungerade Primzahl, q eine Primzahl mit q ≡ 1 mod p, aber q ≢ 1 mod p^{2}, und S = {p, q}. Dann hat die Galoisgruppe der maximalen außerhalb von S unverzweigten p-Erweiterung von K eine Präsentation mit zwei Erzeugern s und t und der Relation r = t^{q−1}[t^{−1}, s^{−1}]:

G_{S}(p) = ⟨s, t | t^{q−1}[t^{−1}, s^{−1}]⟩.

Dabei wird für die Kommutatoren hier die Konvention [a, b] = a^{−1}b^{−1}ab verwendet.

Der Quotient nach der von t erzeugten Untergruppe liefert eine zu ℤ_{p} isomorphe Gruppe mit Erzeuger \overline{s}. Die Jacobi-Matrix mit Einträgen in ℤ_{p}[[ℤ_{p}]] ist gegeben durch

(\frac{∂r}{∂s} ; \frac{∂r}{∂t}) = (\begin{matrix}0 \\ q + \overline{s} \end{matrix}) .

Das erste Fitting-Ideal ist offenbar das Hauptideal (q + \overline{s}). Wählen wir den Isomorphismus ℤ_{p}[[ℤ_{p}]] → ℤ_{p}[[T]] so, dass \overline{s} auf T + 1 abgebildet wird, so erhalten wir als Ideal im Potenzreihenring das Ideal (T + 1 + q).

2) Sei K = ℚ(\sqrt{−23}), p = 3 und S = \{𝔭_{1}, 𝔭_{2}, q, 𝔭\}, wobei 𝔭_{1} und 𝔭_{2} die beiden Teiler von (3) in K sind, q ≢ 1 mod 9 eine Primzahl, die in K ebenfalls prim ist, und 𝔭 ein Primideal, das kein Hauptideal ist. Dann ist

G = ⟨s_{q}, t_{q}, s_{𝔭}, t_{𝔭}|t_{q}^{q−1}[t_{q}^{−1}, s_{q}^{−1}], t_{𝔭}^{N𝔭−1}[t_{𝔭}^{−1}, s_{𝔭}^{−1}]⟩

eine Präsentation der maximalen außerhalb von 3 unverzweigten Pro-3-Erweiterung von K.

Der maximale abelsche Quotient hat als ℤ_{3}-Modul den Rang 2, und die Bilder von s_{q} und s_{𝔭} erzeugen den maximalen torsionsfreien abelschen Quotienten Γ ≅ ℤ_{p}^{2}. Der zugehörige Gruppenring ist isomorph zu ℤ_{p}[[T_{1}, T_{2}]], wobei wir den Isomorphismus ℤ_{p}[[Γ]] → ℤ_{p}[[T_{1}, T_{2}]] so wählen, dass das Bild von s_{q} auf T_{1} + 1 und das Bild von s_{𝔭} auf T_{2} + 1 abgebildet werden.

Die Jacobi-Matrix mit Einträgen im Potenzreihenring ist die Matrix

( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \\ T_{1} + 1 + q & 0 \\ 0 & T_{2} + 1 + N𝔭 \end{matrix} )

und das zweite Fitting-Ideal von H_{1}(G, 1; ℤ_{p}[[T_{1}, T_{2}]]) ist das Ideal ((T_{1} + 1 + q)(T_{2} + 1 + N𝔭)).

Wenn wir den Torsions-Untermodul von H_{1}(G, 1; ℤ_{p}[[T_{1}, T_{2}]]) mit M bezeichnen, ist der Erzeuger (T_{1} + 1 + q)(T_{2} + 1 + N𝔭) nach Satz 1.5 das Element Δ_{0}(M). Aus der exakten Sequenz

0 → H_{1}(G; ℤ_{p}[[T_{1}, T_{2}]]) → H_{1}(G, 1; ℤ_{p}[[T_{1}, T_{2}]]) → I_{Γ} → 0

kann man ablesen, dass die Torsions-Untermoduln der Homologiegruppen H_{1}(G, 1; ℤ_{p}[[T_{1}, T_{2}]]) und H_{1}(G; ℤ_{p}[[T_{1}, T_{2}]]) übereinstimmen. Das Polynom ist also das charakteristische Polynom von H_{1}(G; ℤ_{p}[[T_{1}, T_{2}]]).

Die nächsten Abschnitte befassen sich damit, wie diese Beispiele im Rahmen der Analogie zwischen Knotentheorie und Iwasawatheorie eingeordnet werden können.

5.6 Alexanderpolynome von Verschlingungen

Die Knoteninvarianten aus dem ersten Teil lassen sich auf Verschlingungen, die aus mehr als einer Komponente bestehen, verallgemeinern; als Alexanderpolynom erhält man dann ein Laurent-Polynom in mehreren Variablen. Einen kurzen Überblick über Alexanderpolynome von Verschlingungen findet man in Kapitel 7 von [19], aus dem wir hier alles Nötige wiedergeben.

Lemma 5.33. Die erste Homologiegruppe des Komplements einer Verschlingung L mit k Komponenten ist isomorph zu ℤ^{k}.

Beweis. Die Aussage lässt sich genauso beweisen wie Satz 1.1: Falls V eine Umgebung der Verschlingung L in S^{3} ist, die aus k Volltori besteht, gilt

H_{1}(S^{3}\L) ≅ H_{1}(S^{3}\V^{∘}) ≅ H_{2}(S^{3}, S^{3}\V^{∘}) ≅ H_{2}(V, ∂V) ≅ H^{1}(V) ≅ H^{1}(L) ≅ ℤ^{k}.

Sei C das Komplement der Verschlingung und C_{∞} seine universelle abelsche Überlagerung. Die Decktransformationsgruppe D ist nach dem Lemma eine freie abelsche Gruppe vom Rang k, und der Gruppenring, der in diesem Fall den Laurent-Polynomring ℤ[ℤ] ≅ ℤ[T, T^{−1}] ersetzt, ist der Ring ℤ[ℤ^{k}].

Lemma 5.34. Der Gruppenring ℤ[ℤ^{k}] ist zum Laurent-Polynomring ℤ[T_{1}, T_{1}^{−1}, …, T_{k}, T_{k}^{−1}] isomorph, und dieser Ring ist noethersch und faktoriell.

Beweis. Einen Isomorphismus erhält man durch Auswahl von k Erzeugern von ℤ^{k}, die auf T_{1}, …, T_{k} abgebildet werden. Der Laurent-Polynomring ist als Lokalisierung eines Polynomrings über ℤ noethersch und faktoriell.

Definition. Der Alexandermodul A(L) der Verschlingung ist der ℤ[D]-Modul H_{1}(C_{∞}). Das Alexanderpolynom von L ist der größte gemeinsame Teiler Δ_{0}(H_{1}(C_{∞})) der Elemente aus dem nullten Fitting-Ideal des Alexandermoduls.

Im Fall eines Knotens mit Knotengruppe G haben wir gezeigt, dass das Alexanderpolynom ein Erzeuger des nullten Fitting-Ideals von H_{1}(G; ℤ[G^{ab}]) ist oder alternativ aus dem ersten Fitting-Ideal der relativen Homologiegruppe H_{1}(G, 1; ℤ[G^{ab}]) bestimmt werden kann. Für eine Verschlingung mit π_{1}(C) = G folgt aus der Beobachtung in Abschnitt 5.4.2 dasselbe Resultat, da das Augmentationsideal I_{D} auch hier ein torsionsfreier Modul vom Rang 1 ist.

Satz 5.35. Falls k > 1, ist das erste Fitting-Ideal des Moduls H_{1}(G, 1; ℤ[D]) von der Form I_{D} · (Δ) mit Δ ∈ ℤ[D].

Beweis. Sei G = ⟨e_{i}|r_{j}⟩ eine Wirtinger-Präsentation der Fundamentalgruppe von S^{3}\L mit

n Erzeugern und n − 1 Relationen.^{10} Die Matrix (\overline{\frac{∂r_{j}}{∂e_{i}}}) ist nach Abschnitt 5.4 eine Präsentationsmatrix von H_{1}(G, 1; ℤ[D]) als ℤ[D]-Modul. Sei D_{i} die Determinante der Teilmatrix, die man durch Streichen der i-ten Spalte a_{i} erhält. Aus der Formel

r_{k} − 1 = ∑_{i} \frac{∂r_{k}}{∂e_{i}} (e_{i} − 1)

(Satz 5.5) folgt, dass ∑_{i} a_{i}(e_{i} − 1) = 0 in ℤ[G] und damit ∑_{i} a_{i}(\overline{e}_{i} − 1) = 0 in ℤ[D]. Also gilt für j ≠ i:

D_{j}(\overline{e}_{i} − 1) = det(a_{1}, …, a_{i}(\overline{e}_{i} − 1), …, â_{j}, …, a_{n})
= det(a_{1}, …, − ∑_{k≠i} a_{k}(\overline{e}_{k} − 1), …, â_{j}, …, a_{n})
= det(a_{1}, …, −a_{j}(\overline{e}_{j} − 1), …, â_{j}, …, a_{n})
= ±D_{i}(\overline{e}_{j} − 1).

Falls \overline{e}_{i} ≠ \overline{e}_{j} in D, folgt daraus (\overline{e}_{i}−1)|D_{i}, also gibt es Δ_{i} ∈ ℤ[D] mit Δ_{i}(\overline{e}_{i}−1) = D_{i}. Da ℤ[D] faktoriell ist und wir vorausgesetzt haben, dass mindestens zwei Elemente \overline{e}_{i} verschieden sind, folgt aus Δ_{i}(\overline{e}_{i}−1)(\overline{e}_{j} −1) = Δ_{j}(\overline{e}_{j} −1)(\overline{e}_{i}−1), dass alle Δ_{i} bis auf Vorzeichen übereinstimmen. Die Elemente \overline{e}_{i} − 1 erzeugen das Augmentationsideal von D, und das erste Fitting-Ideal wird von den Minoren D_{i} = Δ_{1}(\overline{e}_{i} − 1) erzeugt, ist also von der Form I_{D} · (Δ)

Das Alexanderpolynom der Verschlingung ist der größte gemeinsame Teiler der Elemente aus F_{1}(H_{1}(G, 1; ℤ[D])), also das Element Δ = Δ(T_{1}, …, T_{k}) aus dem Satz.

Bemerkung. Als Polynom hängt Δ(T_{1}, …, T_{k}) von der Wahl des Isomorphismus

ℤ[ℤ^{k}] → ℤ[T_{1}, T_{1}^{−1}, …, T_{k}, T_{k}^{−1}]

ab; indem man als Erzeuger von ℤ^{k} jeweils Meridiane der einzelnen Knoten wählt, erhält man aber Eindeutigkeit zumindest bis auf Vertauschen von T_{i} und T_{i}^{−1}. Genau wie für Knoten ist in diesem Fall bekannt, dass sich das Ideal (Δ) dadurch nicht ändert ([19], Th. 7.4.1).

10s. Abschnitt 1.3 und [24], Ch. 11

Verschlingungen in 3-Mannigfaltigkeiten

Um das Alexanderpolynom von Knoten oder Verschlingungen definieren zu können, haben wir bis auf die Homologiegruppen keine speziellen Eigenschaften der 3-Sphäre verwendet. Man sieht also sofort, dass sich die Definition ohne Änderungen auf Knoten und Verschlingungen in Homologie-3-Sphären, also 3-Mannigfaltigkeiten mit derselben Homologie wie S^{3}, übertragen lässt. Falls M eine 3-Mannigfaltigkeit mit nichttrivialer erster Homologiegruppe ist, können wir folgendermaßen trotzdem eine ähnliche Invariante konstruieren (vgl. [45], §11.2):

Sei L eine Verschlingung in M und C = M\L ihr Komplement mit Fundamentalgruppe G. Die universelle freie abelsche Überlagerung \overline{C} von C ist die eindeutig bestimmte Überlagerung mit Decktransformationsgruppe D = G^{ab}/ Tors(G^{ab}), also die maximale Überlagerung, deren Decktransformationsgruppe eine freie abelsche Gruppe ist. Falls k den Rang von D bezeichnet, ist der Gruppenring ℤ[D] wieder isomorph zum Laurent-Polynomring ℤ[T_{1}, T_{1}^{−1}, …, T_{k}, T_{k}^{−1}].

Definition. Den ℤ[D]-Modul H_{1}(\overline{C}) bezeichnen wir als Alexandermodul der Verschlingung.

Aus dem Alexandermodul erhält man als Invariante den größten gemeinsamen Teiler Δ_{0}(H_{1}(\overline{C})) der Elemente aus dem nullten Fitting-Ideal. Zunächst ist Δ_{0}(H_{1}(\overline{C})) ein Element von ℤ[D]/ ± D, nach Wahl eines Isomorphismus D → ℤ^{k} erhalten wir ein Laurent-Polynom Δ_{0}(H_{1}(\overline{C})) in den Variablen T_{1}, …, T_{k}. Wir bezeichnen es als Alexanderpolynom der Verschlingung in M.

5.7 Maximale S-verzweigte p-Erweiterungen

Eine offensichtliche Verallgemeinerung im zahlentheoretischen Fall, die als Analogon einer Verschlingung aufgefasst werden kann, besteht darin, statt einer einzigen Primzahl p eine endliche Menge S von Primzahlen zu betrachten. Das Komplement einer Verschlingung entspricht dann der Menge Spec ℤ\S, wobei wir die Menge der zugehörigen Ideale ebenfalls mit S bezeichnen.

Genau wie in Satz 3.17 erhält man als Fundamentalgruppe von Spec ℤ\S die Galoisgruppe der maximalen außerhalb von S unverzweigten Erweiterung von ℚ. Wir wählen wieder eine ungerade Primzahl p und betrachten nur solche Mengen S, die die Menge S_{p} aller Stellen über p enthalten. Bemerkung. Eine Stelle 𝔭 eines Zahlkörpers, die nicht über p liegt, kann in einer p-Erweiterung nur dann verzweigen, wenn N𝔭 ≡ 1 mod p ([33], Ch. X §6). Wir können also vereinbaren, dass S keine unendlichen Stellen und keine Stellen mit N𝔭 ≢ 0; 1 mod p enthalten soll.

Falls K ein total reeller Zahlkörper ist, impliziert die Leopoldt-Vermutung nach Satz 2.41, dass die zyklotomische ℤ_{p}-Erweiterung K_{∞}/K die einzige ℤ_{p}-Erweiterung ist. Wir können wie im Fall S = S_{p} die maximale abelsche p-Erweiterung von K_{∞} betrachten, die bei allen Stellen aus S unverzweigt ist.

Satz 5.36. Sei K_{∞}/K die zyklotomische ℤ_{p}-Erweiterung von K und X_{∞}^{(S)} die Galoisgruppe der maximalen abelschen S-verzweigten p-Erweiterung von K_{∞}. Dann ist X_{∞}^{(S)} ein endlich erzeugter Torsionsmodul über der Iwasawa-Algebra Λ = ℤ_{p}[[T]]. Das charakteristische Polynom ergibt sich als größter gemeinsamer Teiler der Elemente des nullten Fitting-Ideals von X_{∞}^{(S)} oder als charakteristisches Polynom der Abbildung T ⊗ id : X_{∞}^{(S)} ⊗_{ℤ_{p}} ℚ_{p} → X_{∞}^{(S)} ⊗_{ℤ_{p}} ℚ_{p}.

Beweis. Unter Beachtung der Bemerkung zu Satz 2.41 folgt die erste Aussage mit demselben Argument wie im Fall S = S_{p} (Satz 2.48). Die zweite Aussage wurde in Satz 2.49 bereits gezeigt.

5.8 Mehrfache ℤ_{p}-Erweiterungen

Bisher haben wir uns auf total reelle Zahlkörper beschränkt, für die die Leopoldt-Vermutung impliziert, dass die zyklotomische ℤ_{p}-Erweiterung die einzige ℤ_{p}-Erweiterung ist. Im Allgemeinen haben Zahlkörper aber mehr als eine ℤ_{p}-Erweiterung.

Wir bezeichnen mit δ(K) wieder die Abweichung von der Leopoldt-Vermutung für den Körper K. Als Folgerung aus Satz 2.41 ergibt sich:

Satz 5.37. Die Galoisgruppe der Zusammensetzung K̃ aller ℤ_{p}-Erweiterungen eines Zahlkörpers K ist isomorph zu ℤ_{p}^{r_{2}+1+δ(K)}. Man erhält sie aus der Galoisgruppe der maximalen abelschen p-verzweigten p-Erweiterung M_{p}(K) über K als Quotient nach der Torsionsuntergruppe.

Beweis. Jede ℤ_{p}-Erweiterung ist außerhalb von p unverzweigt, also ist K̃ in M_{p}(K) enthalten. Die Galoisgruppe Gal(M_{p}(K)/K) ist nach Satz 2.41 ein endlich erzeugter ℤ_{p}-Modul vom Rang r_{2} + 1 + δ(K), also von der Form ℤ_{p}^{r_{2}+1+δ(K)} × A mit einer endlichen p-Gruppe A. Die Zusammensetzung aller ℤ_{p}-Erweiterungen enthält dann offenbar den Fixkörper der Torsionsuntergruppe A, und andererseits ist jede ℤ_{p}-Erweiterung in diesem Fixkörper enthalten. Also ist die gesuchte Galoisgruppe Gal(K̃/K) genau der torsionsfreie Anteil ℤ_{p}^{r_{2}+1+δ(K)}.

Der Gruppenring, der in diesem Fall die Iwasawa-Algebra ℤ_{p}[[Γ]] ersetzt, ist nach dem letzten Satz der Ring ℤ_{p}[[ℤ_{p}^{d}]] mit d = r_{2} + 1 + δ. Wir bezeichnen ihn wieder mit Λ.

Lemma 5.38. Es gilt Λ ≅ ℤ_{p}[[T_{1}, …, T_{d}]], und dieser Ring ist noethersch und faktoriell. Λ ist lokaler Ring mit dem maximalen Ideal 𝔪 = (p, T_{1}, …, T_{d}) und in der 𝔪-adischen Topologie kompakt und vollständig.

Beweis. Einerseits ist ℤ_{p}[[ℤ_{p} × ⋯ × ℤ_{p}]] ≅ ℤ_{p}[[ℤ_{p}]] ˆ⊗ … ˆ⊗ℤ_{p}[[ℤ_{p}]], da für zwei Pro-p-Gruppen G und G′ mit Systemen von offenen Normalteilern {N}, {N′} gilt

ℤ_{p}[[G]] ˆ⊗ℤ_{p}[[G′]] = \underleftarrow{lim} (ℤ/p^{m}ℤ)[G/N] ⊗ (ℤ/p^{n}ℤ)[G′/N′]
= \underleftarrow{lim} (ℤ/p^{n}ℤ)[G/N × G′/N′].

Andererseits ergibt sich auch ℤ_{p}[[T_{1}, …, T_{d}]] als das d-fache vollständige Tensorprodukt von ℤ_{p}[[T]]:

ℤ_{p}[[T_{1}, …, T_{d}]] = \underleftarrow{lim} ℤ_{p}[[T_{1}, …, T_{d}]]/(T_{1}, …, T_{d})^{n}
= \underleftarrow{lim} ℤ_{p}[T_{1}, …, T_{d}]/(T_{1}^{n_{1}}, …, T_{d}^{n_{d}})
= \underleftarrow{lim}(ℤ_{p}[T_{1}]/(T_{1}^{n_{1}}) ⊗ ⋯ ⊗ ℤ_{p}[T_{d}]/(T_{1}^{n_{d}}))
= ℤ_{p}[[T_{1}]] ˆ⊗ … ˆ⊗ℤ_{p}[[T_{d}]].

Die erste Behauptung ergibt sich jetzt also aus Satz 2.16, wo die Aussage für den Fall d = 1 gezeigt wurde. Wie in diesem Fall sind Potenzreihen, deren konstanter Koeffizient eine Einheit in ℤ_{p} ist, invertierbar. Das einzige maximale Ideal ist also (p, T_{1}, …, T_{d}).

Als Vervollständigung eines noetherschen Rings ist Λ wieder noethersch und nach Definition der 𝔪-adischen Topologie vollständig und kompakt. Potenzreihenringe in d Variablen über einem diskreten Bewertungsring sind nach [4], VII.3.9, Prop. 8 faktoriell.

Bemerkung. Ein Isomorphismus ist wie im Fall einer einfachen ℤ_{p}-Erweiterung gegeben, indem man d Erzeuger der Gruppe ℤ_{p}^{d} auswählt und auf die Elemente T_{1} + 1, …, T_{d} + 1 abbildet.

Beim Übergang von Knoten zu Verschlingungen wurde die Gruppenalgebra ℤ[T, T^{−1}] durch den Laurent-Polynomring ℤ[T_{1}, T_{1}^{−1}, …, T_{k}, T_{k}^{−1}] in mehreren Variablen ersetzt. Der Übergang von ℚ zu Zahlkörpern mit komplexen Einbettungen entspricht dieser Situation insofern, als hier die Iwasawa-Algebra ℤ_{p}[[T]] durch den Potenzreihenring ℤ_{p}[[T_{1}, …, T_{d}]] in mehreren Variablen ersetzt wird. Die Zusammensetzung aller ℤ_{p}-Erweiterungen wird allerdings im Allgemeinen nicht mit der maximalen p-verzweigten p-Erweiterung von K übereinstimmen. Die Situation ähnelt eher der einer Verschlingung in einer 3-Mannigfaltigkeit M, wo die erste Homologiegruppe des Komplements im Allgemeinen ebenfalls nicht torsionsfrei ist.

Als allgemeinsten Fall, der als Ersatz einer Verschlingung in der Topologie angesehen werden kann, betrachten wir die Zusammensetzung K̃/K aller ℤ_{p}-Erweiterungen von K und die maximale abelsche außerhalb einer endlichen Menge S ⊇ S_{p} unverzweigte p-Erweiterung M_{S}(K̃). Die Galoisgruppe der Erweiterung M_{S}(K̃)/K̃ bezeichnen wir mit X.

Lemma 5.39. Sei {γ_{1}, …, γ_{k}} ein Erzeugendensystem von Γ = Gal(K̃/K), das einen Isomorphismus ℤ_{p}[[Γ]] → ℤ_{p}[[T_{1}, …, T_{k}]] bestimmt. Dann ist der Abschluss der Kommutatoruntergruppe von Gal(M_{S}(K̃)/K) der Λ-Modul (T_{1}, …, T_{k})X.

Beweis. Jedes Element T_{i}x mit x ∈ X ist ein Kommutator, da T_{i}x = (γ_{i} − 1)x = γ_{i}xγ_{i}^{−1}x^{−1}. Umgekehrt: Wir haben die exakte Sequenz

1 → X → Gal(M_{S}(K̃)/K) → Γ → 1.

Seien γ̃_{1}, …, γ̃_{k} Hochhebungen der Erzeuger von Γ in Gal(M_{S}(K̃)/K). Für ein beliebiges Element g ∈ Gal(M_{S}(K̃)/K) mit Bild γ_{1}^{e_{1}} … γ_{k}^{e_{k}} im Quotienten Γ ist das Element x = (γ̃_{1}^{e_{1}} … γ̃_{k}^{e_{k}})^{−1}g im Kern X, also gilt g = (γ̃_{1}^{e_{1}} … γ̃_{k}^{e_{k}})^{−1}x mit x ∈ X.

Seien a und b zwei beliebige Elemente aus Gal(M_{S}(K̃)/K) mit Darstellungen a = αx, b = βy, wobei α, β die Form γ̃_{1}^{e_{1}} … γ̃_{k}^{e_{k}} haben und x, y ∈ X. Mit derselben Rechnung wie in Lemma 2.20 ergibt sich aba^{−1}b^{−1} = (1 − β) ∘ (αx^{−1}α^{−1}) · (α − 1) ∘ (βyβ^{−1}). Da αx^{−1}α^{−1}, βyβ^{−1} ∈ X und 1 − β, α − 1 ∈ (T_{1}, …, T_{k}), folgt wie in Lemma 2.20 auch die umgekehrte Inklusion.

Satz 5.40. X ist ein endlich erzeugter Λ-Modul.

Beweis. Die Gruppe

X /(T_{1}, …, T_{k})X = Gal(M_{S}(K̃)/K̃)/ Gal(M_{S}(K̃)/M_{S}(K)) = Gal(M_{S}(K)/K̃)

ist nach dem Korollar zu Satz 2.41 als ℤ_{p}-Modul endlich erzeugt, und nach dem topologischen Nakayama-Lemma ist X damit als Λ-Modul endlich erzeugt.

In dieser Situation ist X allerdings im Allgemeinen kein Λ-Torsionsmodul mehr. Einen Hinweis darauf, wie Invarianten in diesem Fall sinnvoll zu wählen sind, gibt Satz 1.5, aus dem sich direkt die folgende Aussage ableiten lässt:

Satz 5.41. Sei ρ der Λ-Rang von X. Dann ergibt sich das charakteristische Polynom des Torsions-Untermoduls von X als größter gemeinsamer Teiler der Elemente aus dem ρ-ten Fitting-Ideal von X.

Wenn G die Galoisgruppe der maximalen außerhalb von S unverzweigten p-Erweiterung von K bezeichnet, ist X isomorph zu H_{1}(G, ℤ_{p}[[Γ]]). Da das Augmentationsideal I_{Γ} ein torsionsfreier Modul vom Rang 1 ist, folgt aus der Beobachtung in Abschnitt 5.4.2, dass die Torsions-Untermoduln von H_{1}(G; ℤ_{p}[[Γ]]) und H_{1}(G, 1; ℤ_{p}[[Γ]]) übereinstimmen, und damit die folgende Aussage:

Satz 5.42. Das charakteristische Polynom von X erhält man als größten gemeinsamen Teiler der Elemente aus dem ρ + 1-ten Fitting-Ideal von H_{1}(G, 1; ℤ_{p}[[Γ]]).

5.9 Homologie-3-Sphären

In der Topologie bezeichnet man dreidimensionale Mannigfaltigkeiten, deren Homologiegruppen mit denen der 3-Sphäre übereinstimmen, als Homologie-3-Sphären.

In der Zahlentheorie entsprechen den Homologie-3-Sphären in der einfachsten Sichtweise Zahlkörper K, für die die Kohomologiegruppen H^{q}(Spec O_{K}, 𝔾_{m}) bis auf die Dimensionen 0 und 3 verschwinden. Aus der Bedingung H^{1}(Spec O_{K}, 𝔾_{m}) = 0 erhält man mit Satz 4.1 die Voraussetzung, dass die Klassenzahl des Körpers 1 sein muss. Um Spec ℤ einzuschließen, können wir vereinbaren, dass wir ℤ/2ℤ-Torsion wie in Kapitel 4 in den Dimensionen q > 3 ignorieren.

Im Wörterbuch in [42] wird der torsionsfreie Anteil der Einheitengruppe eines Zahlkörpers dem maximalen torsionsfreien Quotienten H_{1}(M)/ Tors(M) für eine Mannigfaltigkeit M gegenübergestellt. Das führt zu der folgenden Definition (vgl. [35]):

Definition. Wir nennen Spec O_{K} Homologie-3-Sphäre, wenn H^{i}(Spec O_{K}, 𝔾_{m}) = 0 für i ≠ 0, 3 und wenn H^{0}(Spec O_{K}, 𝔾_{m}) eine Torsionsgruppe ist. Wir nennen Spec O_{K} Homotopie-3-Sphäre, wenn die étale Fundamentalgruppe verschwindet.

Satz 5.43. Die arithmetischen Homologie-3-Sphären sind die imaginär-quadratischen Zahlkörper mit Klassenzahl 1.

Beweis. Zunächst erhalten wir aus der Eigenschaft

rg_{ℤ}(H^{0}(Spec O_{K}, 𝔾_{m})) = rg_{ℤ} O_{K}^{∗} = 0

und dem Dirichlet’schen Einheitensatz die Gleichung r_{1} + r_{2} − 1 = 0, die für ℚ und imaginärquadratische Zahlkörper erfüllt ist. Die Bedingung H^{1}(Spec O_{K}, 𝔾_{m}) = 0 liefert die Klassenzahl 1. Wenn wir ℤ/2ℤ-Torsion in höheren Dimensionen ignorieren, erhalten wir zusätzlich Spec ℤ, sonst nur die imaginär-quadratischen Zahlkörper mit Klassenzahl 1.

Im Gegensatz zur Situation in der Topologie erhält man mit diesen Definitionen das folgende Ergebnis ([35]):

Satz 5.44. Jede Homologie-3-Sphäre Spec O_{K} ist bereits eine Homotopie-3-Sphäre.

Setzen wir die Aussage der Poincaré-Vermutung voraus, so erhalten wir außer ℚ damit noch weitere Zahlkörper K, für die Spec O_{K} als Analogon der 3-Sphäre angesehen werden sollte, nämlich die imaginär-quadratischen Zahlkörper mit Klassenzahl 1. Die Vermutung von Gauß, die in den 60er Jahren schließlich von H. Stark ([43]) endgültig bestätigt wurde, sagt aus, dass das genau die Körper ℚ(\sqrt{−d}) mit d ∈ \{1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163\} sind. In diesen Fällen ist Spec O_{K} gleichzeitig Homologie-3-Sphäre und Homotopie-3-Sphäre. Wenn wir die Poincaré-Vermutung in der Version „Es gibt nur eine Homologie-3-Sphäre, die gleichzeitig eine Homotopie-3-Sphäre ist“ formulieren, ist ihr Analogon in der Zahlentheorie falsch.

Für K = ℚ haben wir in Satz 2.10 gezeigt, dass die Galoisgruppe der maximalen abelschen p-verzweigten p-Erweiterung zu ℤ_{p} isomorph ist. Der folgende Satz liefert eine ähnliche Aussage für unsere anderen arithmetischen Homologie-3-Sphären. In der Topologie entspricht dieser Satz der Aussage, dass die erste Homologiegruppe des Komplements einer Verschlingung mit zwei Komponenten die torsionsfreie Gruppe ℤ^{2} ist. Dieser Zusammenhang wird im zweiten Teil des Wörterbuchs (§5.10) noch einmal aufgegriffen.

Satz 5.45. Sei K ein imaginär-quadratischer Zahlkörper mit Klassenzahl 1 und p eine ungerade Primzahl, die in K in zwei verschiedene Primideale 𝔭_{1}, 𝔭_{2} zerfällt. Dann ist die Galoisgruppe der maximalen abelschen außerhalb von p unverzweigten p-Erweiterung von K isomorph zu ℤ_{p}^{2}.

Beweis. Mit den Bezeichnungen aus Abschnitt 2.8 erhält man die Galoisgruppe wie im Beweis von Satz 2.39 als maximalen Pro-p-Quotienten von J/\overline{K^{∗}U_{[p]}}. Da die Klassengruppe nach Voraussetzung trivial ist, gilt J = U_{p}U_{[p]}K^{∗}, und wir erhalten mit Lemma 2.38

U_{p}U_{[p]}K^{∗}/\overline{K^{∗}U_{[p]}} ≅ U_{p}/U_{p} ∩ \overline{K^{∗}U_{[p]}} ≅ U_{p}/\overline{E}.

Die Einheitengruppe ist für imaginär-quadratische Zahlkörper nach dem Dirichlet’schen Einheitensatz endlich und damit in U_{p} bereits abgeschlossen. Die Gruppe U_{p} hat als Bestandteile die beiden Faktoren U_{𝔭_{1}} und U_{𝔭_{2}}, die beide isomorph zu ℤ_{p} × μ_{p−1} sind: Da p in dieser Erweiterung voll zerlegt ist, gilt K_{𝔭_{1}} = K_{𝔭_{2}} = ℚ_{p}. Die Einheitengruppe dieser lokalen Körper ist jeweils die Gruppe ℤ_{p}^{∗} und hat den p-Anteil ℤ_{p}. Da E im endlichen Anteil von U_{p} enthalten ist, bekommt man als p-Anteil des Quotienten genau ℤ_{p}^{2}.

Bemerkung. Die Primzahlen, die in einem solchen Körper ℚ(\sqrt{−d}) in zwei verschiedene Primideale zerfallen, sind die Primzahlen der Form a^{2} + db^{2} mit a, b ∈ ℕ.

5.10 Wörterbuch, Teil 2

Die Ergebnisse aus Kapitel 5 werden hier noch einmal wie in Kapitel 4 in „Wörterbuch-Form“ zusammengefasst.

Die Fundamentalgruppe eines Knotenkomplements C und die Galoisgruppe der maximalen p-verzweigten p-Erweiterung von ℚ bezeichnen wir wieder mit G.

Topologie

Zahlentheorie

• H_{1}(G, ℤ) = G^{ab} = H_{1}(C)  • H_{1}(G, ℤ_{p}) = G^{ab} = Gal(ℚ_{∞}/ℚ)
• H_{1}(G, ℤ[G^{ab}]) = H_{1}(C_{∞})  • H_{1}(G, ℤ_{p}[[G^{ab}]]) = Gal(M_{p}(ℚ_{∞})/ℚ_{∞})

Die Decktransformationsgruppe der maximalen abelschen Überlagerung C_{∞} und die Galoisgruppe der zyklotomischen ℤ_{p}-Erweiterung ℚ_{∞}/ℚ ergeben sich jeweils als erste Homologiegruppe von G. Indem man als Koeffizienten den Gruppenring dieser Gruppe G^{ab} wählt, erhält man den Modul, mit dessen Hilfe das Alexanderpolynom bzw. die Iwasawa-Zetafunktion definiert werden.

• Präsentationen G = ⟨e_{i}|r_{j}⟩ der Knotengruppe • Präsentationen G = ⟨e_{i}|r_{j}⟩ der Galoisgruppe als Pro-p-Gruppe

• (\overline{\frac{∂r_{j}}{∂e_{i}}}) ist Präsentationsmatrix von H_{1}(G, 1; ℤ[G^{ab}]) als ℤ[G^{ab}]-Modul • (\overline{\frac{∂r_{j}}{∂e_{i}}}) ist Präsentationsmatrix von H_{1}(G, 1; ℤ_{p}[[G^{ab}]]) als ℤ_{p}[[G^{ab}]]-Modul

• Δ_{1}(H_{1}(G, 1; ℤ[G^{ab}])) liefert das Alexanderpolynom des Knotens • Δ_{1}(H_{1}(G, 1; ℤ_{p}[[G^{ab}]])) liefert die Iwasawa-Zetafunktion

Der Fox-Kalkül stellt in beiden Fällen eine Methode bereit, mit der man aus einer Präsentation der Gruppe G eine Präsentation der relativen Homologiegruppe bestimmen kann (§5.4). Das nullte Fitting-Ideal des Alexandermoduls bzw. der Galoisgruppe Gal(M_{p}(ℚ_{∞})/ℚ_{∞}) kann durch das erste Fitting-Ideal dieser relativen Homologiegruppe ersetzt werden (Kor. 5.30).

Als nächstes Ziel haben wir in diesem Kapitel Alexanderpolynome von Verschlingungen und mögliche Entsprechungen untersucht. In der einfachsten Fassung entspricht dem Komplement einer Verschlingung das Entfernen mehrerer abgeschlossener Punkte aus Spec ℤ:

• Komplement C einer Verschlingung in S^{3}

• Spec ℤ\S

• Fundamentalgruppe von C • Galoisgruppe der maximalen Sverzweigten p-Erweiterung von ℚ

Die algebraische Fundamentalgruppe von Spec ℤ\S ist die Galoisgruppe der maximalen außerhalb von S unverzweigten Erweiterung von ℚ (§3.5). Wenn man für S eine endliche Menge wählt, die die Primzahl p enthält, ist die Galoisgruppe X_{∞}^{(S)} der maximalen S-verzweigten p-Erweiterung von ℚ_{∞} nach Satz 5.36 ein ℤ_{p}[[T]]-Torsionsmodul.

Als Analogon des Alexanderpolynoms von Verschlingungen erhält man mit diesem Vergleich das charakteristische Polynom von X_{∞}^{(S)}, also ein Polynom in einer Variablen.

Um als charakteristisches Polynom ein Polynom in mehreren Variablen zu bekommen, haben wir als zweite Möglichkeit mehrfache ℤ_{p}-Erweiterungen betrachtet. Hierfür legt man statt ℚ einen Zahlkörper mit komplexen Einbettungen zugrunde, denn die Leopoldt-Vermutung impliziert, dass jeder Zahlkörper r_{2} + 1 unabhängige ℤ_{p}-Erweiterungen besitzt. Im Allgemeinen betrachten wir Spec O_{K}, wie im ersten Teil des Wörterbuchs notiert, als Entsprechung einer 3-Mannigfaltigkeit.

• Verschlingungen in einer 3-Mannig-faltigkeit mit Komplement C

• Spec O_{K}\S

•

H = H_{1}(C)

• Galoisgruppe H der maximalen abelschen S-verzweigten Erweiterung von K

• Überlagerung C_{∞} mit Decktransformationsgruppe D = H/ Tors(H)

• Zusammensetzung K̃ aller ℤ_{p}- Erweiterungen von K mit Galoisgruppe Γ = H/ Tors(H)

• D ≅ ℤ^{k}  • Γ ≅ ℤ_{p}^{k}

Für S wählen wir die Menge S_{p} aller Stellen über p oder eine größere endliche Menge von Stellen des Körpers K. Die Zusammensetzung K̃ aller ℤ_{p}-Erweiterungen ist dann in der maximalen abelschen S-verzweigten p-Erweiterung von K enthalten. Ihre Galoisgruppe ist der Quotient von H nach der Torsionsuntergruppe Tors(H) (Satz 5.37). Dieser Erweiterung entspricht die universelle freie abelsche Überlagerung des Komplements C (§5.6).

• ℤ[D] ≅ ℤ[T_{1}, T_{1}^{−1}, …, T_{k}, T_{k}^{−1}]  • ℤ_{p}[[Γ]] ≅ ℤ_{p}[[T_{1}, …, T_{k}]]
•

H_{1}(C_{∞}) als ℤ[D]-Modul

• Galoisgruppe X der maximalen abelschen S-verzweigten p-Erweiterung von K̃ als ℤ_{p}[[Γ]]-Modul

• Alexanderpolynom der Verschlingung •

charakteristisches Polynom von X

Der zugehörige Gruppenring dieser torsionsfreien Gruppen ist isomorph zum Laurent-Polynomring über ℤ in k Variablen bzw. zum Potenzreihenring über ℤ_{p} in k Variablen.

Die Invariante, die analog zum Alexanderpolynom einer Verschlingung definiert wird, ist das charakteristische Polynom der Galoisgruppe X als ℤ_{p}[[T_{1}, …, T_{k}]]-Modul.

Wie im Fall eines Knotens lassen sich die Moduln hier wieder durch Homologiegruppen beschreiben, und die charakteristischen Polynome können wieder wie in Abschnitt 5.4 mit Hilfe des Fox-Kalküls berechnet werden.

Ein genaueres Analogon von Verschlingungen mit zwei Komponenten erhält man im Spezialfall von arithmetischen Homotopie-3-Sphären, der in Abschnitt 5.9 behandelt wird:

• Homologie-3-Sphäre • Spec O_{K} für imaginär-quadratische Zahlkörper K

• Homotopie-3-Sphäre • Spec O_{K} für imaginär-quadratische Zahlkörper K mit Klassenzahl 1

Wenn die étale Kohomologie an die Stelle der topologischen Homologie- und Kohomologietheorien und die étale Fundamentalgruppe an die Stelle der topologischen Fundamentalgruppe treten, erhält man wie in Abschnitt 5.9 beschrieben den arithmetischen Ersatz einer Homologie- bzw. Homotopie-3-Sphäre. Im Gegensatz zur Situation in der Topologie bekommt man sofort neun verschiedene imaginär-quadratische Zahlkörper, für die Spec O_{K} die Eigenschaften einer Homotopie-3-Sphäre hat. Mit derselben Begründung wie im Fall K = ℚ können wir uns diese neun Objekte als Analogon der 3-Sphäre vorstellen.

• Verschlingungen mit zwei Komponenten in S^{3} • zwei abgeschlossene Punkte [𝔭_{1}], [𝔭_{2}] mit p = 𝔭_{1}𝔭_{2} in einer Homotopie-3-Sphäre Spec O_{K}

• universelle abelsche Überlagerung C_{∞} des Komplements C • maximale abelsche p-verzweigte p-Erweiterung K̃ von K

• H_{1}(C) ≅ ℤ^{2}  • Gal(K̃/K) ≅ ℤ_{p}^{2}

In einer arithmetischen Homotopie-3-Sphäre kann man anstelle einer Primzahl zwei abgeschlossene Punkte wählen, die über einer Primzahl p liegen – man wählt mit anderen Worten ein Primideal von ℤ, das in O_{K} in zwei Primfaktoren zerfällt. Das Entfernen dieser zwei Punkte aus Spec O_{K} entspricht dem Entfernen von zwei Kreisen, also einer Verschlingung mit zwei Komponenten, aus der 3-Sphäre.

Der Fundamentalgruppe von C wird wieder wie bisher der p-Anteil der algebraischen Fundamentalgruppe des entsprechenden Schemas zugeordnet. Das ist hier die Galoisgruppe der maximalen p-Erweiterung von K, in der höchstens die Stellen 𝔭_{1} und 𝔭_{2} verzweigen.

An dieser Stelle stimmt die Analogie für unsere arithmetischen Homotopie-3-Sphären wieder genau wie im Fall von Spec ℤ: Als maximalen abelschen p-Quotienten der Fundamentalgruppe, der der maximalen abelschen Überlagerung von C entspricht, erhält man genau die Zusammensetzung der ℤ_{p}-Erweiterungen von K (Satz 5.45), und die Galoisgruppe der maximalen abelschen p-verzweigten p-Erweiterung von K ist isomorph zu ℤ_{p}^{2}. Der dazugehörige Gruppenring über ℤ_{p} ist isomorph zum Potenzreihenring ℤ_{p}[[T_{1}, T_{2}]] in zwei Variablen.

Als Modul über diesem Gruppenring betrachtet man wie im vorhergehenden Fall die Galoisgruppe der maximalen abelschen p-verzweigten p-Erweiterung von K̃. Sein charakteristisches Polynom kann als Analogon des Alexanderpolynoms einer Verschlingung mit zwei Komponenten verstanden werden.