4 Arithmetische Topologie

Eine Untersuchung der étalen Kohomologiegruppen^{4} von Spec O_{K} für Zahlkörper K liefert im Wesentlichen das Resultat, dass es sich bei diesen Schemata um dreidimensionale Objekte handelt.^{5} Genauer hat man für total imaginäre Zahlkörper den folgenden Satz ([27]):

Satz 4.1. Sei X das Spektrum des Ganzheitsrings in einem total imaginären Zahlkörper K, 𝔾_{m} die multiplikative Gruppe des Körpers. Dann gilt

H^{0}(X, 𝔾_{m}) = O_{K}^{∗},
H^{1}(X, 𝔾_{m}) = Cl(K),
H^{2}(X, 𝔾_{m}) = 0,
H^{3}(X, 𝔾_{m}) = ℚ/ℤ,
H^{q}(X, 𝔾_{m}) = 0, falls q > 3.

Wenn K nicht total imaginär ist, gilt bis auf ℤ/2ℤ-Torsion ein ähnliches Resultat ([28], Prop. 2.1). Für K = ℚ haben wir zum Beispiel

H^{0}(Spec ℤ, 𝔾_{m}) = ℤ/2ℤ,
H^{1}(Spec ℤ, 𝔾_{m}) = H^{2}(Spec ℤ, 𝔾_{m}) = 0,
H^{3}(Spec ℤ, 𝔾_{m}) = ℚ/ℤ,

und wenn wir ℤ/2ℤ-Torsion in den höheren Dimensionen ignorieren oder zu 2 teilerfremde Torsionskoeffizienten wählen, ist Spec ℤ ebenfalls ein dreidimensionales Objekt.

Zusätzlich folgt aus Satz 3.14 und dem Satz von Minkowski, dass die algebraische Fundamentalgruppe von Spec ℤ die triviale Gruppe ist; in topologischer Sprechweise ist Spec ℤ also einfach zusammenhängend. Wenn man die étale Kohomologie als Äquivalent der topologischen Kohomologietheorien auffasst, fällt auf, dass Objekte wie Spec ℤ mit den hier aufgeführten Eigenschaften bereits seit Poincaré gerne verdächtigt werden, auszusehen wie eine 3-Sphäre.

Für das Spektrum eines Körpers stimmt die étale Kohomologie mit der Galoiskohomologie des Körpers überein ([29], III.1 Ex. 1.7). Da die absolute Galoisgruppe eines endlichen Körpers die kohomologische Dimension 1 hat ([40], Chap. II, §3.3), werden die abgeschlossenen Punkte Spec 𝔽_{q} = Spec O_{K}/𝔭 ⊂ Spec O_{K} als eindimensionale Objekte angesehen, die mit einem Kreis S^{1} verglichen werden können.

Als Anmerkung zu seinem Artikel [27] über étale Kohomologie von Zahlkörpern notierte sich B. Mazur, dass man das Entfernen eines Primideals aus Spec ℤ als Analogon eines Knotenkomplements in S^{3} auffassen kann. Ihm fiel ebenfalls auf, dass die Definition des Alexanderpolynoms in ähnlicher Form in der Iwasawatheorie wieder auftaucht. Diese und weitere Analogien zwischen Objekten in der Topologie und Objekten in der Zahlentheorie, die schon in den 60er Jahren bemerkt wurden, erschienen allerdings zunächst in keiner Veröffentlichung.

Aufgegriffen und ergänzt wurden die Ideen vor einigen Jahren in einem Vortrag von M. Kapranov und A. Reznikov am MPI, in dem die erste Version eines „Wörterbuchs“ vorgestellt wurde, das einige Objekte aus Knotentheorie und Zahlentheorie, die als Entsprechungen angesehen werden, auflistet. Das so entstandene Gebiet wurde von Reznikov auf den Namen „Arithmetische Topologie“ getauft. Seitdem sind verschiedene Versionen des Wörterbuchs erschienen: die grundlegende Fassung findet man im Preprint [37], weitere Ergänzungen in [42], [38], [35] oder [8].

4Eine Einführung in die étale Kohomologie findet man in [29].

5J. Neukirch gibt in seinem Übersichtsartikel [31] eine Begründung dafür, dass dieses Resultat anschaulich das richtige ist.

4.1 Wörterbuch, Teil 1

Für eine detaillierte Gegenüberstellung der Objekte und Ergebnisse aus den ersten zwei Kapiteln wählen wir hier ebenfalls die Form eines solchen Wörterbuchs.

Topologie

Zahlentheorie

• S^{3}  • Spec ℤ
• Knoten  • Primzahlen

• Verschlingungen •

natürliche Zahlen

Wie in der Einleitung zu diesem Kapitel beschrieben, hat die Kohomologie von Spec ℤ genau wie die der 3-Sphäre die Eigenschaft, dass sie nur in den Dimensionen 0 und 3 nicht verschwindet.^{6} Knoten und Primzahlen, also genauer S^{1} und Spec 𝔽_{p}, sind eindimensionale Objekte, die sich jeweils in diese größeren Objekte einbetten lassen. Aus diesen eindimensionalen Objekten setzen sich Verschlingungen und natürliche Zahlen zusammen.

• Geschlossene orientierbare zusammenhängende 3-Mannigfaltigkeiten M •

Spec O_{K} für Zahlkörper K

• Einbettungen von S^{1} in M, also Knoten in M •

Primideale in O_{K}

• Verschlingungen in M

•

Ideale in O_{K}

Allgemeiner stellt man einer dreidimensionalen Mannigfaltigkeit das Spektrum des Ganzheitsrings O_{K} eines Zahlkörpers gegenüber.^{7} In diesem Fall erhält man anstelle von Primzahlen die Primideale der Höhe 1 in O_{K}. Die Ideale, die sich aus diesen Primidealen zusammensetzen, stehen im allgemeineren Fall statt der ganzen Zahlen für Verschlingungen in einer Mannigfaltigkeit.

• zusammenhängende Überlagerungen von M • unverzweigte Körpererweiterungen von K

• S^{3} hat keine nichttriviale zusammenhängende Überlagerung • ℚ hat keine nichttriviale unverzweigte Erweiterung

6mit Koeffizienten in 𝔾_{m} wie oben bemerkt nur bis auf ℤ/2ℤ-Torsion

7In der neueren Version [38] des Wörterbuchs nennt A. Reznikov als Entsprechungen von Zahlkörpern so genannte „3 \frac{1}{2} -Mannigfaltigkeiten“. Wie [35] und [42] orientieren wir uns aber an der einfacheren Fassung [37].

Den zusammenhängenden Überlagerungen einer Mannigfaltigkeit entsprechen nach Kapitel 3 die zusammenhängenden étalen Überlagerungen von Spec O_{K}. Diese sind nach Satz 3.14 genau die Morphismen Spec O_{L} → Spec O_{K} für unverzweigte Körpererweiterungen L/K. Wie die 3-Sphäre besitzt Spec ℤ keine nichttriviale Überlagerung, ist also „einfach zusammenhängend“.

• Knotenkomplement C

•

Spec ℤ[\frac{1}{p}]

Das Knotenkomplement erhält man durch Entfernen eines eingebetteten Kreises aus der 3-Sphäre. Wenn man einen abgeschlossenen Punkt (p) aus Spec ℤ entfernt, erhält man das offene Unterschema Spec ℤ[\frac{1}{p}].

• maximale abelsche Überlagerung C_{∞} des Knotenkomplements •

zyklotomische ℤ_{p}-Erweiterung ℚ_{∞}/ℚ

Einer zusammenhängenden Überlagerung des Knotenkomplements entspricht eine zusammenhängende étale Überlagerung von Spec ℤ[\frac{1}{p}]. Diese Überlagerungen entsprechen wiederum den p-verzweigten Körpererweiterungen von ℚ (Beispiel 3.15). Der maximalen abelschen Überlagerung eines Knotenkomplements wird also die maximale abelsche außerhalb von p unverzweigte Erweiterung von ℚ zugeordnet. Der p-Anteil dieser Erweiterung, also die maximale abelsche p-verzweigte p-Erweiterung von ℚ, ist nach Satz 2.10 die zyklotomische ℤ_{p}-Erweite-rung ℚ_{∞}/ℚ.

• Knotengruppe G • Galoisgruppe G der maximalen pverzweigten p-Erweiterung von ℚ

• Decktransformationsgruppe D der maximalen abelschen Überlagerung • Galoisgruppe Γ der zyklotomischen ℤ_{p}-Erweiterung ℚ_{∞}/ℚ

• D = G^{ab} ≅ ℤ  • Γ = G^{ab} ≅ ℤ_{p}

Die Knotengruppe eines Knotens ist nach Definition die Fundamentalgruppe des Knotenkomplements. Nach Satz 3.17 ist die Galoisgruppe G genau der maximale Pro-p-Quotient der algebraischen Fundamentalgruppe des korrespondierenden Schemas Spec ℤ\\{(p)\} = Spec ℤ[\frac{1}{p}]. Die Rolle der Decktransformationsgruppe, also der Automorphismengruppe von C_{∞} über C, übernimmt die Galoisgruppe Gal(ℚ_{∞}/ℚ), also die Automorphismengruppe von ℚ_{∞} über ℚ.

Ganz allgemein ersetzt man hier im zahlentheoretischen Fall abstrakte Gruppen durch Pro-p-Gruppen und Untergruppen durch abgeschlossene Untergruppen. Insbesondere wird die Kommutatoruntergruppe durch den Normalteiler ersetzt, der topologisch von den Kommutatoren erzeugt wird. Die Isomorphie D ≅ ℤ entspricht der Tatsache, dass Γ eine freie Pro-p-Gruppe mit einem Erzeuger ist.

\begin{matrix}• & (G′)^{ab} = H_{1}(C_{∞}) & • & {(G′)^{ab} = Gal(M_{p}(ℚ_{∞})/ℚ_{∞}) = \atop G_{p}^{ab}(ℚ_{∞})} \\ • & ℤ[D] ≅ ℤ[T, T^{−1}] & • & ℤ_{p}[[Γ]] ≅ ℤ_{p}[[T]] \end{matrix}

Bildet man den Quotienten von G′ nach der Kommutatoruntergruppe G′′, so erhält man die erste Homologiegruppe der maximalen abelschen Überlagerung von C bzw. die Galoisgruppe der maximalen abelschen p-verzweigten p-Erweiterung von ℚ_{∞}.

Der Gruppenring über G^{ab} wird im ersten Fall mit Koeffizienten in ℤ gebildet und im zweiten Fall als vollständiger Gruppenring (§2.4) mit Koeffizienten in ℤ_{p}. Einen Isomorphismus zwischen dem Gruppenring und dem Laurent-Polynomring ℤ[T, T^{−1}] bzw. dem Potenzreihenring ℤ_{p}[[T]] erhält man durch Wahl eines Erzeugers von D bzw. eines topologischen Erzeugers von Γ (Satz 2.16). Die Gruppe G^{ab} operiert in beiden Situationen auf G^{′ab} und macht damit die korrespondierenden Objekte H_{1}(C_{∞}) und G_{p}^{ab}(ℚ_{∞}) jeweils zu einem Modul über dem Gruppenring.

•

Operation von T auf H_{1}(C_{∞})

•

Operation von T auf G_{p}^{ab}(ℚ_{∞})
• p_{T} (T) = Δ_{0}(H_{1}(C_{∞}))  • p_{T} (T) = Δ_{0}(G_{p}^{ab}(ℚ_{∞})) = Z_{ℚ,p}(T)

Das Element T aus dem Gruppenring induziert jeweils einen Automorphismus des Moduls und damit auch einen Automorphismus des endlichdimensionalen Vektorraums, den man durch Tensorieren mit ℚ bzw. ℚ_{p} erhält. Das charakteristische Polynom ist nach Satz 1.4 bis auf Multiplikation mit einer Einheit das nullte Fitting-Ideal des jeweiligen Moduls. Für den Knoten erhält man als Invariante das Alexanderpolynom, für die Galoisgruppe ist das Resultat die Iwasawa-Zetafunktion.